دنباله فیبوناچی

نسبت طلايي را در فصل چهارم از شگفتي ها و زيبايي هاي رياضي بررسي خواهيم کرد، اما خوب است بدانيد نسبت طلايي را با نمايش مي دهيم و رابطه ي زير نيز بين دنباله ي اعداد فيبوناچي و توان هاي نسبت طلايي برقرار است :

به بهانه روز فیبوناچی؛ با این دنباله طلایی از اعداد بیشتر آشنا شوید

دنباله فیبوناچی یکی از جذابترین مفاهیم دنیای ریاضی است که نمود آن در طبیعت، هنر، معماری و حتی موسیقی هم دیده می شود.

دیروز مصادف با ۲۳ نوامبر به عنوان روز فیبوناچی نامگذاری شده است. این ریاضیدان بزرگ دستاوردهای بسیاری را به یادگار گذاشته که یکی از مهمترین آنها دنباله فیبوناچی است. این دنباله برابر تابع Fn است که در آن n عضوی از مجموعه اعداد حسابی <. ،۳ ،۲ ،۱ ،۰>است. در این دنباله اگر n=۰ باشد حاصل ۰، اگر n=۱ باشد حاصل ۱ و اگر عدد بزرگتر ۱ باشد، خروجی حاصل جمع دو عدد قبلی است:

دنباله فیبوناچی با همین ترتیب تا بی نهایت میل می کند اما هرچه در آن به سمت جلو می رویم حاصل تقسیم جمله n به n-1 به نسبت طلایی نزدیکتر می شود. نسبت طلایی که لوکا پاچیولی (پدر حسابداری دنیا) پنج قرن قبل از آن با عنوان نسبت الهی هم یاد کرده، زمانی به دست می آید که اگر بخش طولانی یک پاره خط (a) را بر بخش کوتاه‌تر (b) تقسیم کنیم، حاصل ۱.۶۱۸ شود. این نسبت در جای جای طبیعت از چشم انسان گرفته تا کندوی زنبورها و اهرام ثلاثه مصر به چشم می خورد.

حاصل بسط تقسیم یک بر ۸۹ به شکلی جالب دنباله فیبوناچی است

یکی از مفاهیم جالب مبتنی بر نسبت طلایی، اسپیرال یا مارپیچ طلایی است. در تصویر زیر به جای هریک از اعداد فیبوناچی یک مربع با ضلعی به دنباله فیبوناچی اندازه همان عدد قرار داده شده است. در هر مربع هم یک چهارم دایره ای با شعاع ضلع آن ترسیم شده است. همانطور که می بینید حاصل مارپیچی زیبا موسوم به اسپیرال طلایی است که جهان اطراف ما از کهکشان ها گرفته تا گل ها، موجودات زنده و نقاشی مونالیزای داوینچی از آن پیروی می کنند.

دنباله فیبوناچی

20 شهریور 1386 مدیر سایت مجموعه اصلی: شگفتی ها وزیبایی های ریاضی مجموعه: فصل اول : زیبایی در اعداد منتشر شده در 20 شهریور 1386 آخرین ویرایش در تاریخ 17 فروردين 1392 تعداد بازدید: 17357

اعداد و دنباله فيبوناچي چه طور اعدادي هستند و از کجا آمده اند؟

موضوعاتي که مانند ِ « اعداد فيبوناچي » در رياضيا نفوذ کرده باشند، زياد نيستند. اعداد فيبوناچي از يکي از کتاب هاي مهم ِ غربي به ما رسيده اند. نام اين کتاب « Liber abaci » است که در سال 1202 توسط « لئوناردو - Leonardo » از Pisa نوشته شده است. لئوناردو در ميان عواممردم به « فيبوناچي – Fibonacci , 1180-1250 » يا « پسر بوناچي » مشهور است.کتاب فيبوناچي ، اولين کتاب انتشار يافته در اروپا است که از اعداد عربي – هندي استفاده کرده است. اعداد هندي -عربي اعداد 0 تا 10 هستند که مبناي سيستم دهدهي هستند. اين کتاب همچنين موارد و مسائلي در مورد تولد خرگوش دارد. که اعداد فيبوناچي از همين مسائل آمده اند.

به يکي از دنباله فیبوناچی مسائل اين کتاب توجه کنيد :

. « در پايان يک سال چند جفت خرگوش خواهيم داشت اگر : در ابتداي سال يک جفت خرگوش ِ بالغ داشته باشيم و هر جفت خرگوش ِ بالغ در هر ماه ، يک جفت نوزاد توليد کند که نوزادان از ماه دوم توانايي توليد نوزاد دارند . ؟ » .

« دنباله فيبوناچي » از همين مسأله تولد خرگوش به دست مي آيد.

براي حل اين مسأله ، جفت خرگوش هاي بالغ را A مي ناميم . اين جفت ها در پايان هر ماه يک جفت نوزاد، که آن ها را B مي ناميم، توليد مي کنند. نوزادانبعد از يک ماه بالغ مي شوند و يک جفت خرگوش A مي شوند که پس از آن توانايي توليد مثل دارند. به اين ترتيب به الگوي زير دست مي يابيم :

تعداد جفت هاي بالغ در ابتداي هر ماه از « دنباله ي فيبوناچي » پيروي مي کند :

1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، 34 ، 55 ، 89 ، 144 ، 233

اگر فرض کنيم ، n مين جمله از « دنباله فيبوناچي » باشد آنگاه اين دنباله به صورت زير تعريف مي شود :

به زبان ساده دنباله اعداد فيبوناچي اين گونه است :

دو جمله ي اول اين دنباله برابر با 1 است و از جمله ي سوم به بعد ، هر جمله با مجموع دو جمله ي قبل از خودش برابر است.

شايد بپرسيد دنباله ي فيبوناچي جه ويژگي هايي دارد که اين قدر مهم جلوه مي کند ؟

يکي از ويژگي هاي دنباله فيبوناچي ، رابطه ي آن با « نسبت طلايي » است. براي پي بردن به اين مطلب ، نسبت ِ يک جمله از دنباله فيبوناچي را به جمله ي قبل از آن تشکيل مي دهيم. اين کسر ها به « نسبت طلايي » ميل مي کنند :

نسبت طلايي را در فصل چهارم از شگفتي ها و زيبايي هاي رياضي بررسي خواهيم کرد، اما خوب است بدانيد نسبت طلايي را با نمايش مي دهيم و رابطه ي زير نيز بين دنباله ي اعداد فيبوناچي و توان هاي نسبت طلايي برقرار است :

اگر به ضرايب ِ نسبت طلايي در سمت راست تساوي ها دقت کنيم متوجه مي شويم که اين ضرايب هملن اعداد ِ دنباله فيبوناچي هستند و ثابت ها ي جمعي نيز اعداد فيبوناچي هستند که يک جمله ديرتر آمده اند .

باور نکردني است که دو چيز کاملا ً (به ظاهر ) متفاوت ، اين گونه رابطه ي تنگاتنگي با هم داشته باشند. در اين موارد است که رياضيات شگفت انگيز مي شود .

و خداوند جهان را بر اساس ریاضیات آفرید

علوم ریاضی نفس را عادت می دهد از قبول اموری که مقرون به دلیل و برهان نباشد اجتناب کنیم.

دنباله فيبوناچي و عدد طلايي

لئوناردو فيبوناچي ايتاليايي حدود سال 1200 ميلادي مساله اي طرح كرد : فرض كنيد كه يك جفت خرگوش نر و ماده در پايان هر ماه يك جفت خرگوش نر و ماده جديد بدنيا بياورند . اگر هيچ خرگوشي از بين نرود , در پايان يك سال چند جفت خرگوش وجود دارد؟؟؟

فيبوناچي تصميم گرفت براي محاسبه تعداد انها F n را تعداد جفتها در شروع ماه N ام فرض كند.
پس F 1 =1 و F 2 =2 خواهد بود . چون در شروع ماه اول فقط يك جفت اصلي وجود دارد. اما با شروع ماه دوم جفت اول جفت دوم را درست ميكند.
سپس او متوجه شد كه با شروع ماه N ام جفتها به دو گروه تقسيم ميشوند: F n-1 تعداد جفتهاي قديمي و تعداد جفتهاي جديد پس از N-1 ماه است .چون جفت جديد پس از يك ماه توليد ميشود و بعد از يك ماه ديگر اولين جفت خود را توليد ميكند . تعداد جفتهاي جديد برابر تعداد جفتهاي دو ماه قبل است كه با F n-1 نشان داده ميشود .
پس :

F n = F n-1 + F n-2

با استفاده از اين فورمول و مقادير اوليه F 1 =1 و F 2 =2 ميتوان تعداد جفتها را پس از يك سال بدست اورد و نوشت F 12 =233 .
سري اعداد F n را دنباله فيبوناچي مينامند. با يك توافق عمومي مقادير اوليه از 1 و 1 بجاي 1و 2 شروع ميشود (بطوري كه جمله هاي دنباله بصورت زير نوشته ميشوند)

حالا اگر در اين دنباله هر عدد را به عدد قبليش تقسيم كنيم يك همچين سري را خواهيم داشت:

1 / 1 = 1, 2 / 1 = 2, 3 / 2 = 1?5, 5 / 3 = 1?666. 8 / 5 = 1?6, 13 / 8 = 1?625, 21 / 13 = 1?61538 و .

كه هرچه جلو بريم بنظر مي ايد كه به يك عدد مخصوص ميرسيم . براي بهتر ديدن موضوع به نمودار زير توجه كنيد:

ما اين عدد را عدد طلايي ميناميم كه اين عدد تقريبا برابر است با : . 1.618033

به عبارتي ديگر حد اين دنباله به عدد طلايي ميرسد:

سري فيبوناچي در طبيعت:

حالا ميام و به اين دنباله به صورت ديگري نگاه ميكنيم : اگر ما دو مربع به ضلع يك در كنار هم بگزاريم و در بالا اندو يك مربع با ضلع 2 بگزاريم و همين طوري تا اخر . ما شكلي خواهيم داشت مثل شكل پايين :

اين مستطيل به مستطيل فيبوناچي معروف است.حالا اگر نقاطي از اين شكل را به هم وصل كنيم به شكل زير ميرسيم :

كه شبيه اين شكل را ميتوان در طبيعت و در شكل زير ديد:

از ديگر مثالهاي اين دنباله در طبيعت ميتوان به دانه هاي گل افتابگردن يا به تعداد گلبرگ بعضي گلها اشاره كرد (براي اطلاعات بيشتر به اينجا يا اينجا مراجعه كنيد) .

عدد طلايي

قبلا در مورد چگونگي بدست اوردن عدد طلايي از طريق دنباله فيبوناچي صحبت شد.حالا در مورد راههاي ديگر بدست اوردن اين عدد صحبت ميكنيم .

در زمانهاي قديم هنرمندان يوناني به خوبي رياضي دانان مستطيل زيبايي مي شناختند كه از نظر هنري عرض 1 و طول X داشت در اين مستطيل هر وقت مربعي به ضلع 1 را از ان جدا كنند باز همان مستطيل با همان نسبتهاي مستطيل اصلي باقي ميماند .
چون مستطيل جديد عرض 1-X و طول 1 دارد و چون نسبت ضعلهاي دو مستطيل با هم برابر است :

حالا اگر در معادله ي بالا براي X حل كنيم ريشه ي مثبت معادله همان عدد طلايي است: در دنياي رياضي اين عدد را با نشانه يوناني (خوانده ميشود في ) نمايش ميدهند .

استفاده هاي اين عدد:

هرم " ريم پاپيروس " در اهرام ثلاثه يكي از قديمي ترين مثالها از استفاده از اين عدد در ساخت بناهاست .
اگر عرض يكي از شالهاي اين هرم را بر فاصله نوك هرم تا نقطه وسط كف هرم تقسيم كنيم جواب 1.6 خواهد بود .

باستان شناسان مطمئن نيستند كه ايا اين كار از قصد انجام شده يا اتفاقي بوده است !
مطلب جالب ديگر اين است كه اگر قطر اين هرم را به دوبرابر ارتفاع ان تقسيم كنيم جواب عدد پي (3.14) خواهد بود .

مثال ديگر در بناي پارتنون در يونان وجود دارد .براي ساخت اين بنا كه در 440 BC ساخته شده است از مستطيل طلايي استفاده شده است:

در شكل زير نقشه اين بنا را ميتوانيد ببينيد . امتحان كنيد ببينيد وقتي طول هر كدام از مستطيلهاي در شكل را به عرض ان تقسيم ميكنيد عدد طلايي بدست مي ايد؟؟؟

چگونگي كشيدن يك مستطيل طلايي:

براي كشيدن يك مستطيل طلايي ابتدا بك مربع با ضلع دلخواه كشيده سپس طبق شكل زير وسط ضلع پايين اين مربع را پيدا كنيد.بعد از اين با يك پرگار يك قوس با شعاعي به اندازه وسط مربع تا گوشه سمت راست بكشيد تا طول مستطيل معلوم شود.

از استفاده هاي ديگر اين عدد :
- هر گاه شما طول صورت فردي را به عرض ان تقسيم كنيد هر چقدر اين عدد به عدد طلايي نزديكتر باشد ان فرد باهوشتر است

- طول هرسه بند انگشت يكي از انگشتان خود را به دلخواه اندازه بگيريد. اندازه بند بالايي را به وسطي تقسيم كنيد. عددي در حدود 1.6 خواهد بود نه ؟!حال همان عمل بالا (تعيين نسبت) را در مورد بند وسط به بند كوچك انجام دهيد. جواب ؟

- از طريق اين عدد متوان مقدار پي را تا دو رقم اعشار دقيق بدست اورد :

به نام او که عالم را بر اساس
« حساب » و « هندسه » آفرید .
آری به نام او که همه چیز دنیا را بر اساس حساب استوار کرد و بر پایه هندسه نظم بخشید .

اویلر ریاضیدان

جورج پولیا:"ریاضیات عبارت است از اثبات بدیهی ترین چیز به نابدیهی ترین روش ممکن"

یک پارادکس + دنباله فیبوناچی + مساله

با درود فراوان خدمت تمامی دوستان و ریاضی دوستان .

اگر به مطالب ریاضی علاقمند باشید حتما در بین وبلاگهای ریاضی از برخی از اونها دیدن کردید. برخی از اونها واقعا مطالب خوبی دارند . و یه چیز جالب هم که در برخی از اونها وجود داره اینکه اگه یکی از وبلاگها یه مطلب جدید و جالبی بزاره اون رو پس از یه مدتی توی خیلی از وبلاگها میتونی مشاهده کنی . مطلبی که امروز میخوام در موردش بنویسم و توضیح بدم دقیقا یکی از همون مطالبه . یکی از اون دسته پارادکس هایی که در چند پست قبل در موردش نوشته بودم پارادوکس در هندسه . قبل از اینکه بخوام توضیحی بدم اول به این دو شکل زیر دقت کنید :

همانطور که در اشکال بالا مشاهده میکنید مستطیلی به عرض 5 و طول 13 داریم و مربعی با طول و عرضی برابر یعنی 8 . اگر کمی دقت کنید با توجه به برشهایی که در مربع ایجاد شده ، این برشها را می توان جابجاکرده و به صورتی دیگر کنار هم قرار دهیم و به شکل مستطیل میرسیم . تا اینجا کار مشکلی وجود ندارد.

مشکل از اونجایی شورع میشه که می بینید مساحت مربع برابر است با 64 ، و مساحت مستطیل برابر است با 65 .

در حالیکه جهت تغییر شکل مربع به مستطیل از نظر مساحت هیچگونه تغییری انجام ندادیم بلکه با چند برش ساده مربع را به مستطیل تبدیل کردیم . مشکل کار کجاست ؟

این مساله یکی از حیله های هندسه می باشد . برای حل این پارادکس لازم میدونم توضیحاتی رو ارائه کنم .

در ریاضیات مبحثی وجود دارد بنام دنباله اعداد . اگر بخوام خیلی عامیانه بیان کنم می توان گفت دنباله ، رشته ای از اعداد هستند که با یه رویه مشخص بوجود می آیند و در کنار هم قرار میگیرند . البته در مجموعه اعداد طبیعی . یکی از معروفترین دنباله ها ، دنباله فیبوناچی می باشد . در سال 1202 میلادی لئونارد فیبوناچی به دنباله ای از اعداد دست یافت که از صفر و یک شروع می شود و جمله ای با جمله قبل خود جمع میشود و عدد بعدی بوجود می آید :

. ،144 ، 89 ، 55 ، 34 ، 21 ، 13 ، 8 ، 5 ،3 ، 2 ، 1 ، 1 ، 0

که یافتن این اعداد هم داستان جالبی دارد که خارج از بحث ما می باشد . نکته جالب دیگری که در این دنباله وجود دارد این است که از نسبت دو جمله پیاپی به عدد زیبای طلایی نزدیک میشویم . یعنی اگر جمله 13 که عدد 144 باشد را بر جمله 12 که عدد 89 هست تقسیم کنیم عدد 61/1 را خواهیم داشت که این همان عدد طلائیست . و هر چه در دنباله فیبوناچی پیش بریم و این نسبت را اتجام دهیم به عدد طلایی نزدیک تر خواهیم شد .

برای حل مساله پارادکسمان این مقدمات لازم بود و حالا حل پارادوکس .

اگر دنباله فیبوناچی رو با نماد نمایش دهیم بطوریکه F نماد دنباله و حرف n (اندیس)تعداد جملات دنباله باشد بطوریکه ، دنباله فیبوناچی را میتوان بصورت زیر نوشت :

قصد این رو ندارم بحثمون رو خیلی تخصصی کنم ولی برای توضیح پارادکس اینا لازمه کارمون هست .

خوب ، از فرمولی که دنباله فیبوناچی تعریف کردیم میتوان فرمول زیر را استخراج کرد که به اتحاد سیمسن معروف می باشد

حال ، در اتحاد سیمسن به ازای خواهیم داشت

یعنی در شکل پارادکس بالا یک مربع اضافه خواهیم داشت که در اتحاد سیمسن به ازای 5 به آن رسیدیم .

بطور کلی ، با هر مربعی که طول ضلعش یک عدد فیبوناچی (مانند مثال ما در شکل فوق یعنی عدد 8 ) باشد میتوان چنین حیله ای را ترتیب داد . اگر به شکلهای زیر دقت کنید ، حالت کلی این پارادکس را در حالتیکه جمله انتخابی دنباله فیبوناچی (اندیس) عددی زوج باشد سطح مربع یک واحد از سطح مستطیل کمتر خواهد بود .

در شکل فوق قسمت مشکی رنگ که به شکل یه متوازی الاضلاع می باشد ، (قسمت اضافی) بنا بر اتحاد سیمسن برابر 1 خواهد بود بطوریکه

و بنابراین حل مساله کامل است .

نکته : لازم به ذکر می باشد در حالتیکه جمله انتخابی دنباله فیبوناچی اعداد فرد باشد مساله دقیقا حالت عکس به خودش میگیرد یعنی مساحت مربع یک واحد بیشتر از مساحت مستطیل خواهد بود.

واما چند تا مساله ریاضی برای دوستانی که علاقمند به حل مساله ریاضی هستند .

سوال 1 – می خواهیم عدد 100 را دوبار طوری تقسیم کنیم که قسمت بزرگتر تقسیم اول ، دو برابر قسمت کوچکتر تقسیم دوم دنباله فیبوناچی و قسمت بزرگتر تقسیم دوم ، سه برابر قسمت کوچکتر تقسیم اول باشد .

سوال 2 – الاغ و قاطر ، با بار سنگینی که بر پشت خود داشتند ، پهلو به پهلوی هم راه می رفتند . الاغ از بار بی اندازه سنگین خود شکوه می کرد . قاطر به او گفت : تو چرا گله داری ؟ اگر من یک کیسه از تو بگیرم ، بار من درست دو برابر تو خواهد شد ، در حالیکه اگر تو یک کیسه از من بگیری ، آنوقت بارهایمان برابر خواهد شد .

الاغ و قاطر ، هر کدام ، چند کیسه بار پشت خود دارند ؟

سوال 3 – سه عدد طوری پیدا کنید که هم مجموع آنها و هم هر کدام از مجموع های دوبه دوی آنها ، مجذور کامل باشد.

سوال 4- در یک سبد 9 سیب بزرگ زیبا وجود دارد . می خواهیم این سیبها را بین 9 دنباله فیبوناچی دختر تقسیم کنیم ، طوری که به هر نفر یک سیب برسد و یک سیب هم در سبد باقی بماند؟

و اما ادامه سوالات ..

سوال ۵ - در ایستگاه 18 واگون است که رویهم 500 تن زغال حمل می کنند . ظرفیت یک واگون 15 ، 20 و یا 30 تن است . چند تا از واگونها 15 تنی ، چند تا 20 تنی و چند تا 30 تنی هستند؟

سوال ۶ - در شکل زیر O مرکز دایره است . زاویه X چند درجه است .

سوال 7 – اعداد صحیح و مثبت را چنان تعیین کنید که داشته باشیم

یکي از دوستان برام این سوال رو ايميل کرده .گفتم بد نيست تا پنجشنبه سوالش اينجا باشه اگه حل نشد واسه پست بعدي جوابشو بزارم.

اعداد فیبوناچی -->

در ریاضیات، سری فیبوناچی (به انگلیسی: Fibonacci number ) به دنباله‌ای از اعداد می‌گویند که به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

غیر از دو عدد اول، اعداد بعدی از جمعِ دو عددِ قبلیِ خود بدست می‌آیند. اولین اعداد این سری عبارت‌اند از:

۰، ۱، ۱، ۲، ۳، ۵، ۸، ۱۳، ۲۱، ۳۴، ۵۵، ۸۹، ۱۴۴، ۲۳۳، ۳۷۷، ۶۱۰، ۹۸۷، ۱۵۹۷، ۲۵۸۴، ۴۱۸۱، ۶۷۶۵، ۱۰۹۴۶، ۱۷۷۱۱

این اعداد به نام لئوناردو فیبوناچی، ریاضی‌دان ایتالیاییِ قرن سیزدهم میلادی، نام‌گذاری شده‌است.

دنباله فیبوناچی

در واقع، فیبوناچی در سال ۱۲۰۲ به مسئله عجیبی علاقه‌مند شد. او می‌خواست بداند اگر یک جفت خرگوش نر و ماده داشته باشد و رفتاری برای زاد و ولد آن‌ها تعریف کند در نهایت نتیجه چگونه خواهد شد. فرضیات اینگونه بود:

• شما یک جفت خرگوش نر و ماده دارید که همین الآن به‌دنیا آمده‌اند.
• خرگوش‌ها پس از یک ماه بالغ می‌شوند.
• دوران بارداری خرگوش‌ها یک ماه است.
• هنگامی که خرگوش ماده به سن بلوغ می‌رسد حتماً باردار می‌شود.
• در هر بار بارداری خرگوش ماده یک خرگوش نر و یک ماده به‌دنیا می‌آورد.
• خرگوش‌ها هرگز نمی‌میرند.

که اگر از قواعد مذکور پیروی کنیم به دنباله زیر خواهیم رسید که به دنباله فیبوناچی مشهور است.

۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴, ۵۵, ۸۹, ۱۴۴, ۲۳۳, ۳۷۷, ۶۱۰, ۹۸۷, ۱۵۹۷, ۲۵۸۴,…

فیبوناچی با حل این مسئله از راه حل فوق دنباله حاصل را به جهان ریاضیات معرفی کرد که خواص شگفت‌انگیز و کاربردهای فراوان آن تا به امروز نه تنها نظر ریاضی‌دانان بلکه دانشمندان بسیاری از رشته‌های دیگر را به خود جلب کرده.

رابطهٔ دنبالهٔ فیبوناچی به این شکل است:

برای مثال برای به دست آوردن جملهٔ دهم باید جملهٔ نهم (۳۴) و جملهٔ هشتم (۲۱) را با هم جمع کنیم که برابر ۵۵ می‌شود.

جملهٔ عمومی دنبالهٔ فیبوناچی

درستی جمله عمومی را می‌توان از طریق استقرای ریاضی اثبات کرد.

ارتباط عدد طلایی با دنباله فیبوناچی

روش‌های متفاوتی برای بیان رابطه بین عدد طلایی و دنباله فیبوناچی وجود دارد که ما در اینجا به دو نمونه بسنده می‌کنیم.

نسبت دو عضو متوالی دنباله

اولین مطلبی که در زمینه ارتباط با دنباله فیبوناچی قابل ذکر است به این قرار است: دنباله را بار دیگر در نظر می‌بینیم:

نسبت جمله دوم به اول برابر است با ۱

نسبت جمله سوم به دوم برابر است با ۲

نسبت جمله چهارم به سوم برابر است با ۱٫۵

نسبت جمله پنجم به چهارم برابر است با ۱٫۶۶

نسبت جمله ششم به پنجم برابر است با ۱٫۶

نسبت جمله هفتم به ششم برابر است با ۱٫۶۲۵

نسبت جمله هشتم به هفتم برابر است با ۱٫۶۱۵

نسبت جمله نهم به هشتم برابر است با دنباله فیبوناچی ۱٫۶۱۹

نسبت جمله دهم به نهم برابر است با ۱٫۶۱۷

به نظر می‌رسد که این رشته به عدد طلایی نزدیک می‌شود. اگر نسبت عدد چهلم این رشته را به عدد قبلی حساب کنیم به عدد ۱٫۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷۴۹۸۹۵ می‌رسیم که با تقریب ۱۴ رقم اعشار نسبت طلایی را نشان می‌دهد. نسبت جملات متوالی به عدد طلایی میل می‌کند.

معادله خط

معادلهٔ خطی به صورت y=mx در نظر می‌گیریم. m به معنی شیب خط است و یک عدد حقیقی است. می‌دانیم اگر m گنگ باشد، خط y=mx از هیچ نقطه‌ای با مختصات صحیح به جز مبدأ عبور نخواهد کرد. در واقع این خط امکان ندارد از نقطه‌ای (جز مبدأ) عبور کند که هم x و هم y آن عدد صحیح باشند.

حال به جای m قرار می‌دهیم: φ. یعنی خط y=φx را در نظر می‌گیریم. چون φ هم یک عدد گنگ است، این خط از هیچ نقطه‌ای با x و y صحیح (جز مبدأ) عبور نخواهد کرد. به همین دلیل نقطه‌هایی را با x و y صحیح در نظر می‌گیریم که کمترین فاصله را از این خط دارند. ابتدا به نظر می‌رسد نقطهٔ (۱، ۱) کمترین فاصله را با این خط دارد؛ ولی فاصلهٔ نقطهٔ (۲، ۱) از این خط کمتر است. نقطهٔ (۳، ۲) فاصلهٔ کمتری با این خط دارد. همچنین فاصلهٔ نقطهٔ (۵، ۳) از این هم کمتر است. این نقاط به همین ترتیب ادامه خواهند یافت و در زیر چند نقطهٔ بعدی را که فاصله‌شان از این خط کمتر می‌شود را می‌بینید. ،(۵۵، ۳۴)، (۳۴، ۲۱)، (۲۱، ۱۳)، (۱۳، ۸)، (۸، ۵)، (۵، ۳)، (۳، ۲)، (۲، ۱)، (۱، ۱)

صحت مطالب فوق به راحتی قابل بررسی است. با کمی دقت در مختصات این نقاط درخواهیم یافت که این مختصات از الگوی دنباله فیبوناچی پیروی می‌کنند. این نقاط را نقاط فیبوناچی می‌نامند.

جمع جملات دنباله فیبوناچی

برای بدست آوردن جمع جملات دنباله فیبو ناچی می‌توان از رابطه S n = F n + 2 − 1 =F_-1> استفاده کرد…