تئوری فراکتال و کاربرد آن

تحقیق رمزنگاری توسط سیستم های فرکتال و کیاس

تحقیق در مورد رمزنگاری,تحقیق رمزنگاری,دانلود تحقیق رمزنگاری,دانلود مقاله رمزنگاری,رمزنگاری توسط سیستم های فرکتال,رمزنگاری توسط سیستم های فرکتال و کیاس,رمزنگاری توسط سیستم های کیاس,مقاله در مورد رمزنگاری,مقاله رمزنگاری
دانلود تحقیق رمزنگاری توسط سیستم های فرکتال و کیاس

دانلود تحقیق در مورد رمزنگاری توسط سیستم های فرکتال و کیاس، در قالب word و در 89 صفحه، قابل ویرایش، شامل:چكيده رمزنگاری با سيستم هاي آشوب 15تحليل سيستم لورنز 16سايفرهاي رمزنگاري تصوير 16الگوريتم رمزنگاري آشوبگون تصوير16فصل اول:تئوری فراکتال و کاربرد آن 1-1) مقدمه اي بر فشرده سازي اطلاعات 171-2) دسته بندي روش هاي فشرده سازي اطلاعات 171-2-1) فشرده سازي اطلاعات متني 181-2-2) فشرده سازي تصاوير دو سطحي 191-2-3) فشرده سازي تصاوير چند سطحي سياه و سفيد و رنگي 191-3) فشرده سازي اطلاعات تصويري201-4) کدينگ تصاوير 211-4-1) نگاشت211-4-2) کوانتيزاسيون231-4-3) اختصاص کد 231-5) معيارهاي سنجش خطا 251-6) فشرده سازي با استفاده از تخمين261-6-1) روش 27DPCM 1-6-2) روش Delta Modulation1-6-3) تکنيک هاي وفقي291-7) فشرده سازي با استفاده از تبديلات متعامد 30فصل دوم: مقدمه اي بر فرکتال ها و هندسه فرکتالي 412-1) مقدمه 472-2) نظريه آشوب (Chaos) 2-3) بررسي خصوصيات فرکتال ها 512-4) روش تعيين بُعد ساختارهاي فرکتالي52فصل سوم: فشرده سازي تصاوير بر اساس تئوري فرکتالي توابع تکراري 543-1) مقدمه 583-2) توليد فرکتال هاي خطي با استفاده از ايده ماشين 60MRCM 3-3) تبديلات آفيني انقباضي و کدهاي 61IFS3-4) کدهاي IFS و توليد تصاوير خود متشابه623-5) کد کردن تصاوير معمولي با استفاده از تئوري فراکتال ها 643-5-1) خود تشابهي در تصاوير معمولي673-5-2) مدل کردن خود تشابهي در تصاوير به وسيله ماشين Partitiond-MRCM693-5-3) قضيه کالج و تبديلات آفيني سه بعدي713-6) چرا فشرده سازي با فرکتال؟ 753-7) ارائه تئوری فراکتال و کاربرد آن يک روش عملي براي فشرده سازي فرکتالي 763-7-1) تقسيم بندي تصاوير (Image Segmentation) 3-7-2) تکنيک هاي کلاسبندي803-7-3) انتخاب دامنه هاي مناسب803-7-4) تبديلات بلوکي فرکتالي3-8) فشرده سازي تصوير و نوشتن فايل فرمت فرکتالي تصوير 833-9) بازسازي تصوير با استفاده از فايل فرمت فراکتالي تصوير 84نتايج شبيه سازي 85نتيجه 87چکیده تحقیق:با توجه به كاربرد روزافزون كامپيوتر، حفظ امنيت و تأييد صحت تصاوير نيز روز به روز اهميت بيشتري مي يابد. تصاوير مخابره شده ممكن است كاربردهايي چون كاربرد تجاري، نظامي و يا حتي كاربردهاي پزشكي داشته باشند كه در هر صورت حفظ امنيت آن ها و جلوگيري از دسترسي هاي غيرمجاز به اين تصاوي، رمزنگاري آن ها را قبل از ارسال روي شبكه ضروري مي كند. ولي به دليل ويژگي هاي تصاوير، خصوصاً حجم زياد داده هاي تصويري و ويدئويي استفاده از الگوريتم هاي كلاسيك رمز نگاري متن، مانند RSA و DES و… در اين موارد ناكارآمد، چون اولاً رمزكردن حجم زياد داده هاي تصويري به اين طريق بسيار وقت گير خواهد بود و خصوصاً در كاربردهاي بلادرنگ عملي نيست و دومين مشكلي كه اين الگوريتم ها دارندريال طول كليد آن هاست كه با توجه به حجم داده هاي رمزشده، استفاده از كليدهاي با طول محدود باعث ضربه پذيري روش در برابر حملات متن رمزشده مي گردد. براي غلبه بر اين مشكلات افراد بسياري به ارائه روش هاي نويني در رمزنگاري تصوير پرداخته اند.در اين تحقیق سعي بر اين بوده كه با استفاده از ويژگي هاي توابع آشوب و امكان توليد كليدهايي با طول بينهايت الگوريتمي ساده، سريع و ايمن براي رمزنگاري داده هاي تصويري ايجاد شود. هم چنين با توجه به فضاي بزرگ كليد در توابع آشوب اين روش تئوری فراکتال و کاربرد آن در برابر حملاتي چون حمله Brute force نيز بسيار مقاوم است. در انتها بايد گفت كه علاوه بر حملات عمدي اين الگوريتم نسبت به تغييراتي بسيار كوچك در كليد بسيار حساس بوده، حتي با در دست داشتن مقادير تقريبي كليد امكان شكستن رمز براي حمله گران وجود ندارد. بخش دوم اين مقاله به بيان ويژگي هاي سيستم هاي آشوب و سيستم آشوب لورنز اختصاص يافته است. در بخش سوم روش هاي رمزنگاري تصوير و ويژگي هاي خاص تصوير از نظر رمزنگاري را مورد بررسي قرار داده است. در بخش چهارم روش رمزنگاري پيشنهادي بيان شده است.در بخش پنجم نتايج شبيه سازي ارائه شده و بخش ششم به جمع بندي كار اختصاص يافته است.

من می خواهم این فایل را خریداری کنم

برچسب ها:
رمزنگاری توسط سیستم های فرکتال و کیاس رمزنگاری توسط سیستم های فرکتال رمزنگاری توسط سیستم های کیاس تحقیق رمزنگاری مقاله رمزنگاری تحقیق در مورد رمزنگاری مقاله در مورد رمزنگاری دانلود تحقیق رمزنگاری دانلود مقاله رمزنگاری

پاورپوینت خلاصه کتاب مثنوی 2 درس اصلي نظم 4 بخش 2

پاورپوینت خلاصه کتاب مثنوی 2 درس اصلي نظم 4 بخش 2 کتاب مثنوی 2 رفتن به سایت اصلی دانلود پاورپوینت خلاصه کتاب مثنوی 2 درس اصلي نظم 4 بخش 2،در قالب ppt و در 173 اسلاید، قابل ویرایش، شامل:دفتر چهارمديباچه دفتر…

تحقیق اصول کنترل کيفيت جامع

تحقیق اصول کنترل کيفيت جامع اصول کنترل کيفيت جامع رفتن به سایت اصلی مشخصات فایل:تحقیق اصول کنترل کيفيت جامعقالب بندی: فایل word و قابل ویرایشتعداد صفحات: 17بخشی از متن تحقیق:اصول کنترل کيفيت جامع یا دمينگ- ایجاد فضای مناسب برای هضم…

تحقيق ابتذال فراگير

آثار مصرف اكستازي,ابتذال در ایران,ابتذال در تهران,ابتذال فراگیر,اعتياد در ايران,اعتياد در زندان,انحرافات جامعه,انحرافات زير پوستي در جامعه‌,ايدز در زندان,ایدز در ایران,تحقیق ابتذال,تحقیق ابتذال فراگیر,گزارش دختران فراري,هپاتيت در زندان دانلود تحقيق ابتذال فراگير دانلود فایل دانلود تحقیق با موضوع ابتذال فراگیر،…

تحقیق گرايشهايي نو درجرم شناسي انگليس و آمريكاي شمالي

پایان نامه پیرامون,پروژه گرايشهايي نو درجرم شناسي,تحقیق در مورد گرايشهايي نو درجرم شناسي,تحقیق گرايشهايي نو درجرم شناسي,حقوق تطبیقی,دانلود تحقیق گرايشهايي نو درجرم شناسي,کار تحقیقی گرايشهايي نو درجرم شناسي,مقاله گرايشهايي نو درجرم شناسي تحقیق گرايشهايي نو درجرم شناسي انگليس و آمريكاي…

پاورپوینت کتاب تاریخ حدیث مدیر شانه چی

پاورپوینت کتاب تاریخ حدیث مدیر شانه چی,جزوه کتاب تاریخ حدیث مدیر شانه چی,خلاصه کتاب تاریخ حدیث مدیر شانه چی,دانلود کتاب تاریخ حدیث مدیر شانه چی,کتاب تاریخ حدیث شانه چی,کتاب تاریخ حدیث مدیر شانه چی,نکات کتاب تاریخ حدیث مدیر شانه چی…

شیپ فایل آبراهه های استان کردستان

شیپ فایل آبراهه های استان کردستان,شیپ فایل رودخانه های استان کردستان,لایه آبراهه های استان کردستان,نقشه ی آبراهه های استان کردستان,نقشه ی رودخانه های استان کردستان دانلود شیپ فایل آبراهه های استان کردستان دانلود فایل نقشه ی آبراهه های استان کردستان…

نقشه مدل رقومی ارتفاعی (DEM) شهرستان فومن (واقع در استان گیلان)

استان گیلان,لایه مدل رقومی ارتفاعی,مدل رقومی ارتفاعی رایگان,نقشه DEM,نقشه DEM شهرستان فومن,نقشه رایگان DEM,نقشه رستری DEM,نقشه مدل رقومی ارتفاعی,نقشه مدل رقومی ارتفاعی شهرستان فومن دانلود نقشه مدل رقومی ارتفاعی (DEM) شهرستان فومن (واقع در استان گیلان) دانلود فایل - نقشه…

تحقيق مصرف گرائي حق مسلم ماست

تحقيق,تحقيق علوم اجتماعي,حق مسلم,دانلود تحقيق,علوم اجتماعي,كار تحقيقي,مصرف گرايي,مصرف گرايي حق مسلم ماست دانلود تحقيق مصرف گرائي حق مسلم ماست دانلود فایل به هنگام تعطيلات کريسمس، و پيش از آن طي روزها و هفته هائي که نزديکي سال نو را نويد…

تحقيق اهداف سياسي آمريكا در منطقه خليج فارس بعد از 11 سپتامبر

11 سپتامبر,اهداف سياسي آمريكا,اهداف سياسي آمريكا در منطقه خليج فارس,تحقيق اهداف سياسي آمريكا در منطقه خليج فارس بعد از 11 سپتامبر,تحقيق علوم سياسي,حادثه 11 سپتامبر,خليج فارس,دانلود تحقيق,سپتامبر,كار تحقيقي علوم سياسي,منطقه خليج فارس دانلود تحقيق اهداف سياسي آمريكا در منطقه خليج…

تحقیق تاریخ شاه صفی‌ تألیف ابوالمفاخر بن فضل‌اللَّه الحسینی

تاریخ شاه صفی‌ تألیف ابوالمفاخر بن فضل‌اللَّه الحسینی,تحقیق در مورد تاریخ شاه صفی‌ تألیف ابوالمفاخر بن فضل‌اللَّه الحسینی,دانلود تحقیق تاریخ شاه صفی‌ تألیف ابوالمفاخر بن فضل‌اللَّه الحسینی,دانلود رایگان تحقیق تاریخ شاه صفی‌ تألیف ابوالمفاخر بن فضل تحقیق تاریخ شاه صفی‌…

گزارش کار آزمایشگاه فیزیک 2

پاورپوینت گزارش کار آزمایشگاه فیزیک (2),تحقیق گزارش کا,دانلود پاورپوینت در مورد گزارش کار آزمایشگاه انجماد فلزات,دانلود پاورپوینت گزارش کار آزمایشگاه انجماد فلزات,دانلود رایگان پاورپوینت گزارش کار آزمایشگاه انجماد فلزات,گزارش کار آزمایشگاه فیزیک (2) گزارش کار آزمایشگاه فیزیک 2 رفتن به…

تحقیق مفهوم مدیریت مشارکتی

پاورپوینت مدیریت مشارکتی,تحقیق آماده در مورد مدیریت مشارکتی,تحقیق در موردمدیریت مشارکتی,تحقیق مدیریت مشارکتی,دانلود تحقیق در مورد مدیریت مشارکتی,دانلود تحقیق مدیریت مشارکتی,دانلود مقا,دانلود مقاله مدیریت مشارکتی,مدیریت مشارکتی تحقیق مفهوم مدیریت مشارکتی رفتن به سایت اصلی بخشی از متن تحقیق:اگر مدیریت مشارکتی…

پاورپوینت تکنیک های تصویربرداری (زانو و ران)

اندام تحتانی,اندام فوقانی,تصویربرداری,تکنیک,زانو,نیمرخ زانو پاورپوینت تکنیک های تصویربرداری (زانو و ران) رفتن به سایت اصلی دانلود پاورپوینت با موضوع تکنیک های تصویربرداری(زانو و ران)،در قالب ppt و در 42 اسلاید، قابل ویرایش، شامل:زانونیمرخ زانوزانو AP با تحمل وزن بدنخم شدگی زانو…

پاورپوینت شیمی آب

آشنایی با شیمی آب,پاورپوینت شیمی آب,پاورپوینت شیمی آب و فاضلاب,پایان نامه شیمی آب,پروژه شیمی آب,جزوه شیمی آب,جزوه شیمی آب و فاضلاب,شیمی آب,شیمی آب چیست,شیمی آب و فاضلاب,کتاب شیمی آب,کتاب شیمی آب و فاضلاب,معرفی شیمی آب دانلود پاورپوینت شیمی آب دانلود…

تحقیق تاريخچه سازه هاي فولادي

تاريخچه سازه هاي فولادي,تاريخچه سازه هاي فولادي(معماری),تحقیق تاريخچه سازه هاي فولادي,دانلود تاريخچه سازه هاي فولادي,دانلود تاريخچه سازه هاي فولادي رشته معماری,دانلود تحقیق تاريخچه سازه هاي فولادي تحقیق تاريخچه سازه هاي فولادي رفتن به سایت اصلی دانلود تحقیق تاريخچه سازه هاي…

طرح توجیهی صنايع چوب

دانلود رایگان طرح توجیهی صنايع چوب,دانلود طرح توجیهی صنايع چوب,طرح توجیهی تولید چوب,طرح توجیهی رایگان صنايع چوب,طرح توجیهی صنايع چوب,طرح توجیهی صنايع چوب به روز,طرح توجیهی صنايع چوب جدید,طرح توجیهی صنايع چوب رایگان طرح توجیهی صنايع چوب رفتن به سایت…

پاورپوینت بررسی متالورژیکی تنگستن کبالت و مولیبدن

پاورپوینت آماده مهندسی م,پاورپوینت تنگستن کبالت و مولیبدن,تحقیق تنگستن کبالت و مولیبدن,تنگستن کبالت و مولیبدن,دانلود پاورپوینت تنگستن کبالت و مولیبدن,دانلود پاورپوینت در مورد تنگستن کبالت و مولیبدن,دانلود رایگان پاورپوینت تنگستن کبالت و مولیبدن پاورپوینت بررسی متالورژیکی تنگستن کبالت و مولیبدن…

تحقیق جايگاه ولايت فقيه در نظام جمهوري اسلامي ايران با نگرش بر نظام حكومتي ساير كشورها

حكومت‌هاي سلطنتي و جمهوري,مفهوم جمهوريت,نظام جمهوري اسلامي ايران,نگرش برنظام حكومتي ساير كشورها,ولایت فقیه تحقیق جايگاه ولايت فقيه در نظام جمهوري اسلامي ايران با نگرش بر نظام حكومتي ساير كشورها رفتن به سایت اصلی دانلود تحقیق باموضوع جايگاه ولايت فقيه در نظام…

مجموعه قالب های پاورپوینت آماده برای رشته مدیریت

مجموعه قالب های پاورپوینت آماده برای رشته مدیریت تم پاورپوینت مدیریت رفتن به سایت اصلی دانلود مجموعه 6 قالب یا تم پاورپوینت آماده برای رشته مدیریتقالب های پاورپوینت جهت استفاده در جلسات دفاع رساله، پایان نامه، پروپوزال، سمینار و …اسلاید…

تحقیق پرخاشگری

پاورپوینت پرخاشگری,پرخاشگری,تحقیق پرخاشگری,دانلود پاورپوینت پرخاشگری,دانلود تحقیق پرخاشگری,دانلود تحقیق رایگان پرخاشگری,دانلود رایگان مقاله پرخاشگری,دانلود مقاله پرخاشگری,مقاله پرخاشگری دانلود تحقیق پرخاشگری دانلود فایل دانلود تحقیق در مورد پرخاشگری،در قالب word و در 43 صفحه، قابل ویرایش، شامل:چکیدهمقدمهمفهوم پرخاشگریتیپ افراد پرخاشگرویژگی های افراد پرخاشگرجو…

تحقیق نور در گرافيك

پاورپوینت نور در گرافیک,تحقیق در مورد نور در گرافیک,تحقیق درباره نور در گرافیک,تحقیق نور در گرافیک,دانلود پژوهش نور در گرافيك,سيستم هاي نورپردازي,طراحي نوري,مقاله در مورد نور در گرافیک,مقاله نور در گرافیک,نورپردازي دانلود تحقیق نور در گرافيك دانلود فایل دانلود تحقیق…

نقشه ی بخش های شهرستان بهشهر

استان مازندران,بخش های شهرستان بهشهر,شیپ فایل بخش های شهرستان بهشهر,شیپ فایل بخش های شهرستانها,فایل جی آی اس بخشهای شهرستان بهشهر,نقشه ی بخش ها,نقشه ی بخش های شهرستان بهشهر,نقشه ی بخش های شهرستانها,نقشه ی جی آی اس بخش های شهرستان بهشهر…

تحقیق جنگ خندق

word,پایان نامه جنگ خندق,پروژه جنگ خندق,پروژه در مورد جنگ خندق,تحقیق آماده در مورد جنگ خندق,تحقیق در مورد جنگ خندق,جنگ خندق,دانلود تحقیق جنگ خندق,دانلود رایگان تحقیق جنگ خندق,رایگان,مقاله جنگ خندق,مقاله در مورد جنگ خندق,ورد تحقیق جنگ خندق رفتن به سایت اصلی…

تحقیق مقایسه الگوهای تدریس نوین و سنتی

الگوهای تدریس نوین و سنتی,تحقیق الگوهای تدریس نوین و سنتی,تدریس نوین و سنتی,دانلود مقاله مقایسه تدریس سنتی و نوین,مقاله الگوهای تدریس نوین و سنتی,مقاله مقایسه الگوهای تدریس نوین و سنتی,مقایسه الگوهای تدریس نوین و سنتی دانلود تحقیق مقایسه الگوهای تدریس…

تحقیق دانش آموزان و ترسیم چشم انداز مسیر زندگی، تحصیلی و شغلی

تحقیق چشم انداز زندگی دانش آموزان,تحقیق دانش آموزی,تحقیق زندگی,تحقیق زندگی تحصیلی دانش آموزان,تحقیق زندگی دانش آموزی,چشم انداز زندگی تحصیلی دانش آموزان,دانش آموزان و ترسیم چشم انداز مسیر زندگی,زندگی تحصیلی دانش آموزان,زندگی شغلی دانلود تحقیق دانش آموزان و ترسیم چشم انداز…

دانشجــــویان معمــــــــاری دانشگاه ملی ملایر

واژه فراکتال مشتق از واژه لاتینی فراکتوس- به معنی سنگی که به شکل نامنظم شکسته خرد شده است- در سال ۱۹۷۵ برای اولین بار توسط بنوت مندل بروت مطرح شد. فراکتال ها شکل هایی هستند که بر خلاف شکل های هندسی اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند. این شکل ها اولاً سر تاسر نامنظم اند، ثانیاً میزان بی نظمی آنها در همه مقیاسها یکسان است.

با ملاحظه تئوری فراکتال و کاربرد آن اشکال موجود در طبیعت، مشخص می شود که هندسه اقلیدسی قادر به تبیین و تشریح اشکال پیچیده و ظاهراً بی نظم طبیعی نیست.

مندل بروت در سال ۱۹۷۵ اعلام کرده که ابرها به صورت کره نیستند، کوهها همانند مخروط نمی باشند، سواحل دریا دایره شکل نیستند، پوست درخت صاف نیست و صاعقه بصورت خط مستقیم حرکت نمی کند.

جسم فراکتال از دور ونزدیک یکسان دیده می شود. به تعبییر دیگر خودمتشابه است.

وقتی که به یک جسم فراکتال نزدیک می شویم، می بینیم که تکه های کوچکی از آن که از دور همچون دانه ها بی شکلی به نظر می رسید، بصورت جسم مشخص در می آید که شکلش کم و بیش مثل همان شکلی است که از دور دیده می شود. در طبیعت نمونه های فراوانی از فراکتال ها دیده می شود. درختان ، ابرها، کوهها، رودها، لبه سواحل دریا، و گل کلم ها اجسام فراکتال هستند بخش کوچکی از یک درخت که شاخه آن باشد شباهت به کل درخت دارد. این مثال را می توان در مورد ابرها، گل کلم، صاعقه و سایر اجسام فراکتال عنوان نمود.

بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نیز بصورت فراکتال می باشند. تراشه های سلیکان، منحنی نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها و بالاخره مثلث سرپینسکی را می توان در این مورد مثال زد.

در علم ریاضی فراکتال یک شکل مهندسی است که پیچیده است ودارای جزئیات مشابه در ساختار خود در هر مقیاسی است.

میزان بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک میزان است. مثلث سرپینسکی یک مثلث متساوی الاضلاع است که نقاط وسط سرضلع آن به یکدیگر متصل شده اند. اگر این عمل در داخل مثلث های متساوی الاضلاع جدید تا بی نهایت ادامه یابد، همواره مثلث هایی حاصل می شوند که مشابه مثلث اول هستند.

( وحید قبادیان، مبانی و مفاهیم در معماری معاصر غرب صص ۱۶۶-۱۶۷)

تعریف فراکتال

هندسه ی اقلیدسی – احجام کامل کره ها و هرم ها و مکعب ها واستوانه ها- بهترین راه نشان دادن عناصر طبیعی نیستند . ابرها و کوه ها و خط ساحلی و تنه ی درختان همه با احجام اقلیدسی در تضاد هستند و نه صاف بلکه ناهموار هستند و این بی نظمی را در مقیاس های کوچک نیز به ارمغان می آورند که یکی از مهمترین خصوصیات فراکتال ها همین است .

این بدین معناست که هندسه ی فراکتال بر خلاف هندسه ی اقلیدسی روش بهتری را برای توضیح و ایجاد پدیده هایی همانند طبیعت است .زبانی که این هندسه به وسیله ی آن بیان می شود الگوریتم نام دارد که با اشیا مرکب می توانند به فرمولها و قوانین ساده تری ترجمه و خلاصه شوند.

فرکتال از کلمه ی لاتین فراکتوس به معنی سنگی نامنظم شکسته و خرد شده است، گرفته شده است . اولین بار فرکتال را دکتر ماندلبروت طی نظریه ای که برای مسائل جهان هستی ارائه کرد و در این نظریه عنوان کرد که جهان هستی بعدی مابین ۲۳/۱-۳۴/۱۱ دارد و تمامی پدیده های طبیعی به نوعی فرکتالهایی می باشند در جهان هستی که برای ما ناشناخته اند.

فراکتال ها انواع عناصری هستند که فرم فضایی آنها صاف نیست .بنابراین “نامرتب ” نامیده شده اند و این نامنظمی آنها به طور هندسی در راستای مقیاسهای گوناگون در داخل هرم تکرار می شوند .هر چیز طبیعی در اطراف ما در اصل نوعی فراکتال است . به این سبب که خطوط صاف و پلانها فقط در دنیای ایده آل ریاضی وجود دارد .در کنار این تئوری هر سیستم که بتواند به صورت هندسی متصور و تحلیل شود می تواند یک فرکتال باشد .جهان در فرم فیزیکی ( مادی ) کلی خود پر هرج و مرج ،ناممتد و نامنظم است اما در پس این اولین ذهنیت و گمان یک نوع دستوری نهفته است که منظم و دارای ترکیبی واضح است . بهترین راه برای تعریف یک فرکتال توجه به صفتها و نشانه های آن است یک فرکتال ” نامنظم ” است . این بدان معنی است که در آن هیچ قسمتی صاف نیست . فرکتال ” خود مشابه ” است و این بدین معنی است که ” اجزا ” شبیه کل هستند .

فراکتال ها به وسیله ی ” تکرار ” توسعه می یابند که به این معنی است که تغییرشکل مکرراً ایجاد شده و وابسته به موقعیت شروع است . خصوصیت دیگر آن این است که فراکتال ” مرکب ” است . اما با این حال می توان آن را به وسیله ی الگوریتم های ساده نشان داد و همچنین بدون معنی نیز نیست که در پس عناصر نامرتب طبیعی یک رشته قوانین موجود است .

Benoît B. Mandelbrot (born 20 November 1924) is a French mathematician, best known as the father of fractal geometry. He is Sterling Professor of Mathematical Sciences, Emeritus at Yale University; IBM Fellow Emeritus at the Thomas J. Watson Research Center; and Battelle Fellow at the Pacific Northwest National Laboratory. He was born in Poland. His family moved to France when he was a child, and he was educated in France. He is a dual French and American citizen. Mandelbrot now lives and works in the United States.

موزه گوگنهایم در بیلبائو

فرکتال (برخال) چیست؟
ما فرکتال‌ها را هر روز می‌بینیم: درختها ، کوهها، پراکنده شدن برگهای پاییزی روی زمین ، ساحل دریا و …

حالا به این تعریف دقت کنید: فراکتال تصویر هندسی چند جزیی است که می‌توان آن را به تکه هایی تقسیم کرد که انگار هر تکه یک کپی از ” کل ” تصویر است . به سختی بتوان باور کرد که چیزی مانند فراکتال‌ها بتواند اینقدر پیچیده و سخت باشد و در عالی ترین سطوح ریاضی به کار رود و در عین حال بتوان به تصویر یک سرگرمی خوب به آن نگاه کرد. اگر بخواهیم بترسانیمتان می‌توانیم بگوییم که هندسه فراکتالی حرکت اشکال در فضا را ثبت می‌کند و یا ناهمواری دنیا و انرژی و تغییرات دینامیک آن را نشان می‌دهد ! اما راستش را بخواهید فراکتال چیز ساده ای است به سادگی ابرها یا شعله های آتش.
واژه فرکتال از ریشه ای یونانی به معنای ” تکه تکه شده ” و”بخش بخش” آمده است و به نحوی تعریف ریاضی اش را در خود دارد.

اگر بخواهیم از دید کلی به بحث فرکتال نگاه کنیم آن را می توان به ۳ دسته تقسیم بندی کرد :

۱- هندسه فرکتال : در این قسمت از دید ریاضی به فرکتال نگاه می شود که بیشتر مورد توجه ریاضی دان ها قرار گرفته اما پایه های قسمت های بعدی نیز می باشد ، و تا با عناصر اصلی فرکتال و چگونگی ایجاد این فرم آشنا نشویم نمی توان فرم های مختلف و حجم های مختلف را شناسایی کرد.

۲- فرم فرکتال : قسمت دوم این مقاله است ، با توجه به اینکه ،محصول هندسه فرکتال فرمی است که دقیقاً آن مشخصه های هندسی مربوطه را دارد . در این بخش فرم هایی همچون فرم های درخت ، فرم های مندلبرت ، فرمهای موجود در طبیعت ، ایجاد فرم های رندوم (Random fractal) ، خود متشابهی (self similarity) ، فرکتال در نقاشی ( آثار نقاشانی چون جکسون پالاک ) و … مورد بررسی قرار خواهد گرفت .

۳- حجم فرکتال (فرکتال در معماری): نتیجه فرم های مختلف می تواند به یک اثر معماری منتج شود لذا در این بخش حجم های فرکتالی و آثار معماری مطرح می شود .

اشکال فرکتالی چنان با زندگی روزمره ما گره خورده که بسیار جالب است. با کمی دقت به اطراف خود، می توان بسیاری از این اشکال را یافت. از گل فرش زیر پای شما و گل کلم درون مغازه های میوه فروشی گرفته تا شکل کوه ها، ابرها، دانه برف و باران، شکل ریشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شکل سرخس ها، سیاهرگ و حتی می توان از این هم فراتر رفت : سطح کره ماه ، منظومه شمسی و ستارگان .

البته در بخش فرم های فرکتال این موضوع بیشتر مشهود است به طوری که بسیاری از فرمهای خلقت دارای ساختاری فرکتال هستند .

این روزها از فراکتالها به عنوان یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه ای نیز نام می برند، اما هنگام پیدایش این مفهوم جدید بیشترین نقش را در فشرده سازی فایلهای تصویری بازی می کنند.

فرکتال از منظر هندسی

هندسه فرکتالی یا هندسه فرکتال ها پدیده ایست که چندی پیش پا به دنیای ریاضیات گذاشت.

واژه فرکتال در سال ۱۹۷۶ توسط ریاضیدان لهستانی به نام بنوئیت مندلبرات وارد دنیای ریاضیات شد.

او در سال ۱۹۸۷ پرفسوری خود را در رشته ریاضیات گرفت.

مندلبرات وقتی که بر روی تحقیقی پیرامون طول سواحل انگلیس مطالعه می نمود به این نتیجه رسید که هر گاه با مقیاس بزرگ این طول اندازه گرفته شود بیشتر از زمانی است که مقیاس کوچکتر باشد.

از لحاظ واژه مندلبرات انتخاب اصطلاح فرکتال (fractal) را از واژه لاتین fractus یا fractum (به معنی شکسته ) گرفت تا بر ماهیت قطعه قطعه شونده که یکی از مشخصه های اصلی این فرم است ،تاکید داشته باشد .

فرهنگستان زبان هم واژه برخال را تصویب کرده و همچنین برای واژه فرکتالی واژه برخالی را تصویب کرده است.

واژه فرکتال به معنای سنگی است که به شکل نامنظم شکسته شده باشد.

فرکتال از دید هندسی به شیئی گویند که دارای سه ویژگی زیر باشد:

۱-اول اینکه دارای خاصیت خود متشابهی باشد یا به تعبیر دیگر self-similar باشد.

۲-در مقیاس خرد بسیار پیچیده باشد.

۳-بعد آن یک عدد صحیح نباشد (مثلاً‌ ۱.۵).

برای درک بهتر نسبت به مشخصات بالا در فرم هندسی ، بد نیست نمونه ای که شاید تا کنون با آن برخورد کرده باشید مطرح شود :

تصویر بالا ( یک کبوتر ) یک فرم هندسی است که دقیقاً با تعاریفی که در تعریف فرکتال بیان شد، منطبق است یعنی هم دارای خاصیت خود متشابهی و پیچیدگی در مقیاس خرد و نیز عدم داشتن بعد صحیح . تصویر بالا دارای بعدی بین عدد ۲ و ۳ است.

حال به بررسی هر یک در زیر پرداخته شده :

خاصیت خود متشابهی فرکتا لها

شیئی را دارای خاصیت خود متشابهی می گوییم: هر گاه قسمت هایی از آن با یک مقیاس معلوم ، یک نمونه از کل شیئی باشد.

ساده ترین مثال برای یک شیئ خود متشابه در طبیعت گل کلم است که هر قطعه‌ی کوچک گل کلم متشابه قطعه بزرگی از آن است .

همین طور درخت کاج یک شیئ خود متشابه است ،چرا که هر یک از شاخه های آن خیلی شبیه یک درخت کاج است ولی در مقیاس بسیار کوچکتر .همچنین در مورد برگ سرخس نیز چنین خاصیتی وجود دارد.

رشته کوه ها ، پشته های ابر ، مسیر رودخانه ها و خطوط ساحلی نیز همگی مثال‌ها‌یی از یک ساختمان خود متشابه هستند.

نمونه ای از خود متشابهی در شکل زیر نیز دیده می شود.

فراکتال شکل هندسی پیچیده است که دارای جزییات مشابه در ساختار خود در مقیاسهای متفاوت می باشد و بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک اندازه است .

واژه فراکتال مشتق گرفته شده از واژه لاتینی فراکتوس به معنای سنگ است که به شکل نا منظم شکسته و خرد شده .این واژه برای اولین بار توسط بنوت مندل بروت مطرح شد .

جسم فراکتال از دوز و نزدیک یکسان دیده می شود .مثلا وقتی به یک کوه نگاه می کنیم شکلی شبیه به یک مخروط می بینیم که روی آن مخروطهای کوچکتر و بی نظمی دیده می شود ولی وقتی نزدیک می شویم همین مخروطهای کوچک شبیه کوه هستند و یا شاخه های یک درخت شبیه خود درخت هستند .البته در طبیعت نمونه های اجسام فراکتال فراوان است مثلا ابرها -رودها -سرخس ها و حتی گل کلم از اجسام فراکتال است .و اگر به ساخته های دست بشر هم نگاه کنیم تراشه های سیلیکان و یا مثلث سرپینسکی نیز فراکتال هستند . و در معماری همیشه نباید نیاز بشر را هندسه اقلیدسی تامین کند .گسترش شهرها نمونه آشکاری از فراکتال است.

خصوصیات اشکال فرکتال

- اشکال اقلیدسی با استفاده از توابع ایستا تولید می شوند ولی اشکال فرکتال با فرآیندهای پویا تولید می شوند.( فرآیندهای پویا, فرآیندهایی هستند که دارای حافظه می باشند و رفتار آنها به گذشته بستگی دارد.)

- اشکال فرکتال دارای خاصیت خود همانندی است. طول این اشیا بی نهایت است که در فضای محدود, محصور شده اند.

- مجموعه های فرکتال, از زیر مجموعه هایی تشکیل شده اند که این زیر مجموعه ها شبیه مجموعه های بزرگتر هستند.

- هندسه فرکتال دارای ساختارهای ظرفیتی بالاست ولی ظرفیت اطلاعاتی اشیای اقلیدسی بسیار محدود و حاوی اطلاعات تکراری است.

- هندسه فرکتال, بیان ریاضی از معماری طبیعت است.

- هر فرآیند تکراری و پویا باعث ایجاد ساختارهای پیچیده فرکتال نمی شود. مکانیزم تولید چنین ساختارهای پویایی, آشوب است. در حقیقت, فرکتال تصویر ریاضی از آشوب است.

رابطه فراکتال و معماری

مطالعه هندسه باید به طراح کمک کند به درک بهتری از جریان جزئیات در پیرامون ما و جهان طبیعی دست یابد.

خصوصیت فراکتالی یک ترکیب معماری در تسلسل جالب جزئیات است. این تسلسل برای حفظ جذابیت معماری لازم است. هنگامی که شخص به یک ساختمان نزدیک و سپس به آن وارد می شود همیشه باید مقیاس کوچکتر دیگری همراه با جزئیات جذاب وجود داشته باشد تا معنای کلی ترکیب را بیان کند که این یک ایده فراکتال است.

انسانها در روزگار قدیم که در طبیعت می زیستند و مانند انسان دوره مدرن, با طبیعت بیگانه نبودند, معماریشان با نظم طبیعت بود. آنها به این دلیل که در طبیعت رشد میافتند, ضمیر ناخودآگاهشان نیز با نظم طبیعت- یعنی با نظم فراکتال- رشد میافت, در نتیجه مصنوعاتش نیز دارای نطم فراکتال می بود.

فراکتال در معماری معاصر

به دنبال بیگانگی انسان معاصر با طبیعت و دور شدن ساخته هایش از تشابه با ساختارهای طبیعت, معماران معاصر به دنبال نمود دادن ساختار فراکتال طبیعت در آثارشان هستند. هر چند که این هنوز آغاز راه است ولی ارتباطی جدیدی در زمینه طبیعت و معماری معاصر را نشان میدهد. ارتباطی که انسان مدرن آن را فراموش کرده بود.

فراکتال‌ها پنجره ریاضیات رو به هستی

فراکتال‌ها شاخه تلفیقی جدیدی از ریاضیات و هنر محسوب می‌شوند و شاید علت آن که فراکتال‌ها در نظر بیشتر افراد به چشم تصاویری زیبا مناسب پیشخوان رایانه‌ها یا طرح‌های بدیع و اصیل کارت پستالی دیده می‌شوند همین آمیختگی ریاضی و زیباشناختی آن است.

اکثر نظام‌های عینی طبیعت و بسیاری از مصنوعات بشری در چارچوب اشکال هندسی منتظم و یکدست هندسه اقلیدسی نمی‌گنجند.

هندسه اقلیدسی با همه معیارهایش در برابر تعریف نظام‌های طبیعی و مصنوعی جهان حرفی برای گفتن ندارد، اما از آن طرف هندسه فراکتالی راه‌های تقریبا نامحدودی را برای توصیف، اندازه‌گیری و پیش‌بینی پدیده‌های طبیعی در آستین دارد.

فراکتال‌ها در بسیاری از ساختارهای طبیعی مثل برف‌دانه‌ها، کوه‌ها، ابرها، ریشه، تنه و برگ درختان، رویش بلورها در سنگ‌های آذرین، شبکه آبراه‌ها و رودخانه‌ها، رسوبگذاری الکتروشیمیایی، رویش توده باکتری‌ها و سیستم عروق خونی، DNA و. دیده می‌شوند و با آنها می‌توان پدیده‌های طبیعی بسیاری را تشریح، تفسیر و پیش‌بینی کرد. بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نظیر تراشه‌های سیلیکونی، منحنی نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها نیز از قوانین فراکتالی پیروی می‌کنند.

این شکل‌های هندسی زیبا به واسطه سازگاری پویا و جاذبه غریبی که در ارتباط میان خود و محیط پیرامونشان ایجاد می‌کنند از نوعی نظم دقیق در عین بی‌نظمی برخوردارند و پتانسیل شگفت‌آوری را برای عوض کردن دیدگاه و تفسیر ما از پدیده‌های عالم و نقش بنیادی ریاضیات برای توصیف و توضیح جهان در خود نهفته دارند.

هندسه فراکتال، مرزهای درک و استنباط بشر از ریاضیات را که به عنوان کالبدی از فرمول‌های پیچیده و ملال‌آور در اذهان تعریف شده است، فراتر می‌برد و با تلفیق هنر و ریاضیات بوضوح نشان می‌دهد معادلات ریاضی چیزی بیشتر از مجموعه‌ای از اعداد هستند.

شاید سودمندی مفاهیم ریاضی برای ایفای چنین نقش مهمی، موهبت خدادادی بی‌نظیری است که آنچنان که شایسته بوده درکش نکرده‌ایم. آیا با این اوصاف، تعریف کردن کل جهان با استفاده از معادلات ریاضی امکان‌پذیر است؟

هندسه تئوری فراکتال و کاربرد آن بعد چهارم یا هندسه طبیعت

بنوا مندل‌برو (1389‌‌ـ‌1303) پدر هندسه فراکتالی، مبدع واژه فراکتال و کاشف مجموعه مندل‌برو است که تقریبا مادر تمام فراکتال‌ها محسوب می‌شود.

مندل‌برو در نوجوانی، آموزش و تعلیمات رسمی‌ منظمی‌کسب نکرد و به گفته خودش هیچ‌گاه نتوانست الفبا و جدول ضرب را درست و حسابی فرا بگیرد، اما در عین حال در برخی حوزه‌های زبان‌شناسی، نظریه بازی‌ها و احتمالات، دانش هوانوردی ، مهندسی ، علم اقتصاد، فیزیولوژی، جغرافیا، نجوم و صد البته فیزیک کارشناس و خبره بود.

مندل برو از دانش پژوهان مشتاق تاریخ علم نیز بود و از همه مهم‌تر جزو نخستین ریاضیدانان جهان به لحاظ دسترسی به رایانه‌های پر سرعت محسوب می‌شود.

بنوا مندل‌برو کشفیات بزرگ خود را با سرپیچی و تمرد از قدرت حاکم زمانه یا همان ریاضیات آکادمیک صورت داد. در گذشته، علوم و ریاضیات بر محور نظام‌های محدودی در سه بعد نخست یا همان خط، سطح و فضا دور می‌زدند که ظاهرا با جهان واقعی و مختصاتش که بعد چهارم گفته می‌شد میانه‌ای نداشتند.

در حقیقت ما در بعد چهارم یا پیوستار فضا زمان زندگی می‌کنیم. گرچه از زمان اینشتین به بعد بود که فهمیدیم حتی بعد سوم واقعا وجود ندارد و تنها مدلی برای واقعیت می‌تواند باشد، اما پس از مندل‌برو بود که تازه متوجه شدیم بعد چهارم واقعا چیست و چگونه به نظر می‌رسد و از چهره فراکتالی آشوب و بی‌نظمی‌ باخبر شدیم؛ کسی که چهره اصلی نظریه‌پردازی آشوب در زمانه ما محسوب می‌شود.

تحقیقات مندل‌برو نهایتا به دستاورد بزرگی منجر شد که در یک فرمول ساده ریاضی خلاصه می‌شود. این فرمول که امروز به افتخار نام مخترعش مجموعه مندل‌برو نامیده می‌شود و برخی آن را بزرگ‌ترین کشف ریاضیات قرن بیستم می‌دانند یک حساب دینامیک و پویا بر اساس تکرار اعداد مرکب با صفر به عنوان نقطه شروع است.

فرمول مندل‌برو خلاصه‌ای از درک و بینش‌های بسیاری است که مندل‌برو از هندسه فراکتال طبیعت یا همان جهان واقعی بعد چهارم به دست آورده است. فرمول مندل‌برو در تضاد آشکار با جهان آرمانی اشکال اقلیدسی بعدهای اول تا سوم است که دغدغه خاطر تقریبا تمامی ‌ریاضیدانان پیش از مندل‌برو بوده است.

در جایی که هندسه اقلیدسی پیرامون کمال مطلق تقریبا ناموجودی در طبیعت دور می‌زد و سعی داشت همه اشیا و مظاهر طبیعی را از دریچه تنگ نظم و ترتیب مجسم کند و قاعدتا از توصیف واقعی شکل یک ابر، کوه، خط ساحلی یا حتی یک درخت ناتوان بود.

مندل‌برو در کتاب هندسه فراکتال طبیعت (1362) خود می‌گوید: «ابرها کروی نیستند، کوه‌ها مخروط نیستند، خطوط ساحلی مدور نیستند، پوست درخت صاف نیست و رعد و برق نیز خط سیر مستقیمی‌ ندارد.»

پیش از مندل‌برو، ریاضیدانان بر این باور بودند که پیچیدگی، بی‌قاعدگی، بخش بخش شدگی و بی‌نظمی ‌اکثر الگوهای طبیعت فراتر از آن است که بتوانند به لحاظ ریاضیاتی توصیف و تبیین شوند. اما مندل‌برو، هندسه فراکتالی جدیدی از طبیعت را بر اساس بعد چهارم و اعداد مرکب درک و توسعه بخشید که قادر به توصیف ریاضیات بی‌نظم‌ترین اشکال جهان واقعی است.

به گفته خودش هندسه فراکتالی صرفا فصلی از کتاب ریاضیات نیست، بلکه موهبتی از دانش ریاضیات است که امکان مشاهده متفاوت یک جهان را برای همگان فراهم می‌آورد.

مندل‌برو ثابت کرد بعد چهارم شامل ابعاد کسری می‌شود که بین سه بعد نخست قرار دارد و این مفهوم ابعاد بینابینی یا حد فاصل ابعاد را بعدهای فراکتالی نامید.

وی واژه فراکتال را بر اساس صفت لاتین فرکتوس نامگذاری کرد که با فعل لاتین فرنجر به معنی شکستن و خرد کردن متناظر بود و مفهوم ایجاد بخش‌های نامنظم و نامرتب را تداعی می‌کرد.

مندل‌برو به لحاظ ریاضیاتی و گرافیکی نشان داده است طبیعت برای ایجاد اشکال مختلط و بی‌نظم و قاعده جهان واقعی چگونه از بعدهای فراکتال استفاده می‌کند. یک فراکتال به عنوان فرمی ‌هندسی دارای اشکال نامنظم است، اما در بطن این تصاویر بی‌قاعده و نامنظم، نظمی ‌پنهان وجود دارد.

این نظم پنهان در بی‌نظمی‌ در اصل تکرار پشت سر هم نسخه‌های شبیه به هم از شکل کلی است که ظاهرا به چشم نمی‌آید، ولی زمانی که بخش کوچکی از یک شکل نامنظم کلی همانند کوه را از نزدیک مشاهده می‌کنیم، با نسخه تکرار شده مشابهی از شکل کلی کوه در مقیاس کوچک‌تر مواجه می‌شویم و هر چه نزدیک‌تر شویم باز هم همان شکل را در مقیاسی خردتر می‌بینیم و این تسلسل تا بی‌نهایت می‌تواند ادامه داشته باشد.

می‌توان در هر جایی از طبیعت یا در واقع دنیای زیگزاگ طبیعت فراکتال‌ها و خود تشابهی را با هر مقیاسی سراغ گرفت. این واقعیت زیبا در هر برف دانه، هر خدنگ رعد وبرق، هر درخت، هر شاخه و حتی در دستگاه گردش خون با رگ‌هایش و خلاصه از صدف دریا گرفته تا کهکشان‌های مارپیچ به چشم می‌خورند.

فرش قرمز دانش برای هندسه فراکتالی

امروز به لطف مندل‌برو و نظریه معاصر بی‌نظمی، ما به درکی ریاضیاتی از برخی فعالیت‌های تاکنون مخفی و رازآلود طبیعت نائل شده‌ایم. ما برای نخستین بار فهمیده‌ایم که چرا دو درخت نزدیک به یکدیگر در جنگل که در یک زمان و از یک خاک و از یک خانواده با ژن‌های یکسان در حال رشد و نمو هستند، هر کدام به شکلی منحصر به فرد از کار درخواهند آمد.

درست همانند هر برف دانه‌ای که از یک ابر و در یک زمان و تحت شرایط یکسانی تشکیل شده و فرود می‌آیند، ولی باز هم هر کدام از آنها بی‌مانند و یگانه هستند و با بقیه برف دانه‌ها فرق دارند.

چنین حالتی تنها به واسطه خصلت بی‌نهایتی که در بعدها و تأثیر متقابل تصادف و احتمال یا همان بی‌نظمی‌غیر قابل پیش‌بینی وجود دارد، امکان‌پذیر می‌شود. هندسه فراکتالی بر بسیاری از حوزه‌های علوم مانند اخترفیزیک و علوم‌زیستی سایه افکنده و به یکی از مهم‌ترین تکنیک‌های دانش گرافیک رایانه بدل شده است.

فراکتال‌ها در اختر فیزیک

هیچ‌کس واقعا نمی‌داند چند ستاره در آسمان شب چشمک می‌زند، ولی نحوه شکل‌گیری و قرارگیری آنها در عالم همواره مایه حیرت و شگفتی بوده است. اختر فیزیکدانان بر این باورند که ماهیت فراکتالی گاز میان ستاره‌ای کلید راهنمای این مسأله باشد.

فراکتال پخش و انتشار گازها به صورت سلسله مراتبی است که نظیر آن در خزیدن‌های دود در هوا یا موج خوردن ابرها در آسمان دیده می‌شود. اشکال آشفتگی ابرها در آسمان و در فضا الگویی نامنظم، اما تکرار شونده به آنها می‌بخشد که توصیفش بدون کمک گرفتن از هندسه فراکتالی غیرممکن خواهد بود.

فراکتال‌ها در علوم زیستی

مدلسازی طبیعت با استفاده از بازنمایی‌های هندسه اقلیدسی که ضربان خون را به صورت موج سینوسی، درختان سوزنی برگ را به صورت مخروط و غشای سلولی را به صورت منحنی و سطوح صاف و ساده به نمایش می‌گذاشت، تغییر خواهد کرد.

نمونه‌های بارزی از اشکال فراکتالی را می‌توان در بدن انسان یافت. شناخته شده‌ترین مثال فراکتال بدن مجموعه رگ‌ها و شریان‌های دستگاه گردش خون پستانداران و انسان است.

ساختار نایژه‌ای شش‌های انسان از جمله فراکتال‌های زیبا و مثال‌زدنی زنده محسوب می‌شود که ویژگی خودمتشابهی و ایجاد نسخه‌های مکرر خردتر از نمونه کل را تا بیش از 15 انشعاب مسلسل و پی در پی به نمایش می‌گذارند.

کشفیات تازه در حوزه تحقیقات مغز به وجود یک ساختار فراکتالی مبتنی بر شش ضلعی‌ها اشاره دارد که ممکن است در نحوه سازماندهی میدان‌های گیرندگی بصری بخش قشری مغز نقش داشته باشد.

دانشمندان کشف کرده‌اند معماری پایه یک کروموزم ساختاری درختی دارد و هر کروموزم شامل میکروکروموزم‌های بسیاری می‌شود که می‌توان با تئوری فراکتال آن را توضیح داد.

از طرفی ویژگی خودمتشابهی ذاتی فراکتال‌ها در توالی‌های DNA نیز مشخص شده است. به عقیده برخی زیست‌شناسان، از شناسایی خصوصیات فراکتالی دی.ان.ای می‌توان برای حل روابط تکاملی جانوران استفاده کرد.

دانش زیست‌شناسی ممکن است در آینده برای ارائه مدل‌های جامعی از الگوها و فرآیندهای مشاهده شده در طبیعت از هندسه فراکتال استفاده کند.

فراکتال‌ها در گرافیک رایانه‌ای

وسیع‌ترین دامنه کاربرد فراکتال‌ها در زندگی روزمره در علوم رایانه است. بسیاری از طرح‌های فشرده‌سازی تصویری از الگوریتم‌های فراکتال استفاده تئوری فراکتال و کاربرد آن می‌کنند.

هنرمندان گرافیک رایانه‌ای برای خلق مناظر بافت‌دار و دیگر مدل‌های پیچیده و پر طول و تفصیل از فرم‌های فراکتال زیادی استفاده می‌کنند.

ایجاد انواع تصاویر واقع نمایانه از سکانس‌های طبیعت نظیر تصاویری از ماه، رشته کوه‌ها و خطوط ساحلی که در بسیاری از جلوه‌های ویژه سینمایی دیده می‌شوند به لطف همین الگوریتم‌های فراکتالی امکان پذیر هستند.

دانشمندان دریافته‌اند هندسه فراکتال ابزار قدرتمندی برای رازگشایی از طیف گسترده‌ای از نظام‌ها و حل‌کردن مشکلات مهم علوم کاربردی است.

نظام‌های فراکتالی عینی و ملموس جهان فهرست بلند بالایی دارند که به​سرعت در حال رشد است. فراکتال‌ها دقت ما در توصیف و طبقه‌بندی کردن اشیای تصادفی یا ارگانیک را بهبود بخشیده‌اند، اما ممکن است کامل و بی‌عیب نباشند.

شاید فراکتال‌ها فقط به جهان ما نزدیک‌ترند و یکی عین آن نیستند. برخی دانشمندان هنوز بر این باورند که بی‌نظمی وجود دارد و هیچ معادله ریاضی آن را به طور کامل و بی‌نقص توصیف نخواهد کرد.

شاید هم از نظر بسیاری، فراکتال‌ها چیز بیشتری از تصاویر زیبا عرضه نخواهند کرد، اما فراکتال‌ها و هندسه فراکتالی هر چه باشد منظره متفاوتی از واقعیت جهانی را که در آن زندگی می‌کنیم به نمایش گذاشته است.

فراکتال در دل طبیعت

نمایش آشکار الگوهای تکرار شونده مدل منحنی‌های فراکتالی موسوم به فراکتال برف‌دانه کخ

هندسه فراکتالی را در حیات وحش هم می‌توان دید. به عنوان مثال فراکتال پر زرق و برقی که طاووس برای جلب نظر جفت به کار می‌برد

مسیر حرکت آذرخش با شکل‌گیری مرحله به مرحله به سوی زمین و تبدیل هوا به پلاسما یک الگوی فراکتال آشکار است

غایت فراکتال سبزیجات، فراکتالی از نوع مارپیچ لگاریتمی‌ در کلم بروکلی که به مارپیچ طلایی معروف است

سرپاوران دریایی که 65 میلیون سال پیش منقرض شدند. الگوی رشد پوسته آنها مارپیچ لگاریتمی ‌است

این پهنه‌های پوشیده از نمک الگوی ثابت ولی تصادفی را که مشخصه‌های فراکتالی است به نمایش می‌گذارد.

بی نهایت بر بی نهایت

هندسه که می توان به آن علم بازی با اشکال لقب داد، خود پایه گذار دیگر شاخه های ریاضی است. زیرا تمام قسمت های دیگر در ریاضیات و علوم دیگر تا به صورت مشهودی قابل بررسی دقیق و اصولی نباشد جای پیشرفت چشمگیری برای آنها نمی توان درنظر گرفت. با این اوصاف، شایسته است به هندسه لقب «مادر بزرگ علوم» دهیم.شاید اگر زمانی که حوزه اطلاعاتمان از اعداد تنها به مجموعه اعداد طبیعی منتهی می شدو معلم درس ریاضیات از ما می خواست تا ضلع سوم مثلث قائم الزاویه ای را که طول هر ضلعش یک سانتی متر است اندازه بگیریم نمی توانستیم عددی را با چنین ویژگی بیابیم .سال ها پیش اقلیدس با حل مسئله ای نظیر این (محاسبه قطر مربعی که هر ضلعش ۱ واحد بود)، سلسله اعداد جدیدی را به مجموعه های شناخته شده اضافه کرد که یکی از شاهکارهای بی نظیر در پیشرفت ریاضیات و البته علوم بود. بله این عدد عجیب و غریب «رادیکال ۲» بود.

عموم تحصیلکردگان با هندسه اقلیدسی آشنا هستند. زیرا دست کم در طول دوران تحصیل خود به اجبار هم که بوده در کتاب های درسی با این هندسه که اصول آن بر مبنای اندازه گیری است آشنا شده اند. اما هندسه اقلیدسی تنها به بررسی اشکال کلاسیک موجود در طبیعت می پردازد. در این هندسه اشکال و توابع ناهموار، آشفته و غیر کلاسیک به بهانه اینکه مهار ناپذیرند، جایی نداشتند.

بالاخره در سال ۱۹۹۴، طلسم یکی از تئوری های ریاضی که از سال۱۸۹۷، عنوان شده بود، شکست و «مندلبرات(۱)» ریاضیدان لهستانی، پایه گذار هندسه جدیدی شد که به آن هندسه بدون اندازه یا هندسه فرکتالی گویند. هندسه بدون اندازه یکی از شاخه های جدید ریاضیات است که در برابر تفسیر و شبیه سازی اشکال مختلف طبیعت از خود انعطاف و قابلیت بی نظیر نشان داده است. با به کارگیری هندسه فرکتالی، افق روشنی پیش روی ریاضیدانان و محققان در زمینه بازگو کردن رفتار توابع و مجموعه های به ظاهر ناهموار و پر آشوب قرار گرفت.

واژه فرکتال به معنای سنگی است که به شکل نامنظم شکسته شده باشد. در این هندسه اشکالی مورد بررسی قرار می گیرند که بسیار نامنظم به نظر می رسند. اما اگر با دقت به شکل نگاه کنیم متوجه می شویم که تکه های کوچک آن کم و بیش شبیه به کل شکل هستند به عبارتی جزء در این اشکال، نماینده ای از کل است. به چنین اشکالی نام «خود متشابه» نیز می دهند.

اشکال فرکتالی چنان با زندگی روزمره ما گره خورده که تعجب آور است. با کمی دقت به اطراف خودتان، می توانید بسیاری از این اشکال را بیابید. از گل فرش زیر پای شما و گل کلم درون مغازه های میوه فروشی گرفته تا شکل کوه ها، ابرها، دانه برف و باران، شکل ریشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شکل سرخس ها، سیاهرگ و شش و. همه اینها نمونه هایی از اشکال فرکتالی اند.

این موجودات به عنوان اصلی ترین بازیگران هندسه منتج از نظریه آشوب شناخته می شوند.

این هندسه ویژگی های منحصر به فردی دارد، که می تواند توجیه گر بسیاری از رویدادهای جهان اطراف ما باشد، اما ویژگی اصلی که در تعریف آشوب و بالطبع هندسه آن وجود دارد، باعث می شود ما استفاده ویژه ای از این سیستم ببریم.

این روزها از فراکتالها به عنوان یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه ای نام می برند، اما هنگام پیدایش این مفهوم جدید بیشترین نقش را در فشرده سازی فایلهای تصویری بازی کردند.

برای آن که درک بهتری نسبت به فراکتالها داشته باشیم ، بد نیست نگاه مختصری به آشوبی بیندازیم ، که فراکتال ها فضای هندسی آنها را تعریف می کند.

● تعریف آشوب

فصل مشترک تعاریفی که برای مفهوم آشوب ارائه شده است ، تاکید بر این نکته است که آشوب دانش بررسی رفتار سیستم هایی است که اگرچه ورودی آنها قابل تعیین واندازه گیری است ، اما خروجی این سیستم ها ظاهری کتره ای و تصادفی دارد.

شاید به همین دلیل بود که استوارت ریاضیدان برجسته این موضوع را مفهومی احتمالاتی می دانست ، اما چیزی نگذشت که وی تعریف خود را اصلاح کرد و به تعریفی رسید که تقریبا مورد تایید عمومی قرار دارد.

بر اساس این تعریف ، آشوب به توانایی یک الگو و مدل ساده گفته می شود که اگرچه خود این الگو هیچ نشانی از پدیده های تصادفی در خود ندارد، اما می تواند منجر به ظهور رفتارهای بسیار بی قاعده در محیط شود.

برای مثال ، یک دنباله ریاضی از اعداد را در نظر بگیرید که برای توضیح یک پدیده مشخص وضع شده است.

اگرچه آشوب نظریه ای است که بر موضوعات گوناگون اجتماعی و سیاسی و اقتصادی نظر دارد، اما نیازمند زبانی برای تصویر سازی مفاهیم خود بود و تئوری فراکتال و کاربرد آن این عرصه ای بود که هندسه آشوب یا فراکتالها خلق کردند.

ما در هندسه آشوب با تصاویر متفاوتی سرو کار داریم ، تصاویری که بزرگترین خصوصیات آنها این است که وقتی رسم آن را آغاز می کنیم ، نمی دانیم در نهایت با چه پدیده ای روبه رو خواهیم شد و از سوی دیگر بازخورد در آن نقش اساسی دارد. بیایید یک فرمول کلی را اجرا کنیم. یک مثلث متساوی الاضلاع رسم کنید.

حال میانه ۳ضلع را مشخص کرده و از رسم آنها به هم مثلث متساوی الساقین جدیدی به دست آورید. همین بلا را بر سر ۳مثلث تشکیل شده بیرونی بکنید و این روند را تا آنجا که می توانید ادامه دهید. شما با استفاده از یک رابطه ساده - که تقسیم اضلاع مثلث به نصف و اتصال آنها به هم بود - و با تکرار آن موفق به رسم نقشه یک ساختار فراکتالی شده اید.

چنان اشکالی اجزای سازنده هندسه جدی فراکتالی هستند؛ هندسه ای که به قول یکی از خالقان آن ، یعنی مندلبرات ابزاری را برای دیدن بی نهایت در اختیار ما قرار می دهد.این اشکال یک مشخصه بسیار عمده دارند. کل شکل از اجزایی مشابه شکل اول تشکیل شده است.

در مثال خودمان مثلث بزرگ از مجموعه ای مثلثهای همسان به وجود آمده است. این یکی از خصوصیات زیبای فراکتالهاست که همزمان از سوی طبیعت و فناوری به کار گرفته شده است.

اگر تا به حال به یک برگ سرخس نگاه کرده باشید، می توانید متوجه تشابه اجزای مختلف آن شوید. ساختار کل ساقه همانند یک برگ و ساختار یک برگ همانند یک جزو کوچک آن است.

اگر فرصت کردید نگاهی هم به سواحل دریاها یا تصاویر هوایی کوهستان ها و گیاهان اطرافتان بیندازید، بسرعت درخواهید یافت که در جهانی آشوب زده احاطه شده اید.

با استفاده از فرکتال ها به راحتی می توان نوار قلب بیماران را تفسیر کرد و حتی احتمال بروز حمله قلبی در آنها را حدس زد و از آن جلوگیری کرد.ممکن است روزی فرکتال ها در فهمیدن چگونگی کار مغز یا ارگانیسم بدن بسیار کارآ و مؤثر واقع شوند. پیدا کردن پیوندهای بین علم و زندگی، آن رویی از سکه است که متاسفانه در کشور ما اصلاً به آن توجهی نمی شود. در صورتی که پیدا کردن و بیان این پیوندها می تواند تاثیرات بسیاری بر پیشرفت علوم و عمومی کردن آن داشته باشد.

اگر هنوز از این موجودات ساده و در عین حال پیچیده هیجان زده نشده اید، این نکته را هم بشنوید.این اجسام نه یک بعدی اند، نه دو بعدی و نه سه بعدی.

این ها ابعادی کسری دارند؟ فراکتالها دقیقا به دلیل همین خاصیت ویژه ای که دارند، زمانی توانستند روشی برای ذخیره سازی تصاویر ارائه دهند. معمولا زمانی که یک تصویر گرافیکی قرار است به شکل یک فایل تصویری ذخیره شود، باید مشخصات هرنقطه از آن (شامل محل قرار گیری پیکسل و رنگ آن به صورت داده هایی عدی ذخیره شود و زمانی که یک مرور گر بخواهد این فایل را برای شما به تصویر بکشد و نمایش دهد، باید بتواند این کدهای عدی را به ویژگیهای گرافیکی تبدیل کند و آن را به نمایش بگذارد. مشکلی که در این کار وجود دارد، حجم بالایی از داده ها ست که باید از سوی نرم افزار ضبط کننده و تولید کننده بررسی شود.

اگر بخواهیم تصویر نهایی ما کیفیتی عالی داشته باشد،نیازمند آنیم که اطلاعات هریک از نقاط تشکیل دهنده تصاویر را با دقت بالایی مشخص و ثبت کنیم و این حجم بسیار بالایی از حافظه را به خود اختصاص می دهد، به همین دلیل ، روشهایی برای فشرده سازی تصویر ارائه می شود.

اگر نگاهی به فایلهایی که با پسوندهای مختلف ضبط شده اند، بیندازید متوجه تفاوت فاحش حجم آنها می شوید. برخی از این فرمتها با پذیرفتن افت کیفیت بین تصویر تولیدی و آنچه آنها ذخیره می کنند، عملا این امکان را در اختیار مردم قرار می دهند، که بتوانند فایلها و تصاویر خود را روی فلاپی ها و با حجم کمتر ذخیره کنند یا روی اینترنت قرار دهند.

برای این فشرده سازی از روشهای مختفی استفاده می شود. درواقع در این فشرده سازی ها بر اساس برخی الگوریتم های کار آمد سعی می شود به جای ضبط تمام داده های یک پیکسل مشخصات اساسی از یک ناحیه ذخیره شود، که هنگام باز سازی تصویر نقشی اساسی تر را ایفا می کنند.

در اینجاست که روش فراکتالی اهمیت خود را نشان می داد. در یکی از روشهایی که در این باره مطرح شد و با استقبال بسیار خوبی از سوی طراحان مواجه شد، روش استفاده از خاصیت الگوهای فراکتالی بود. در این روش از این ویژگی اصلی فراکتالها استفاده می شد که جزیی از یک تصویر در کل آن تکرار می شود.برای درک بهتر به یک مثال نگاهی بیندازیم. فرض کنید تصویری از یک برگ سرخس تهیه کرده اید و قصد ذخیره کردن آن را دارید.

همان طور که قبلا هم اشاره شد، این برگ ساختاری کاملا فراکتالی دارد؛ یعنی اجزای کوچک تشکیل دهنده در ساختار بزرگ تکرار می شود.

بخشی از یک برگ کوچک ،برگ را می سازد و کنار هم قرار گرفتن برگها ساقه اصلی را تشکیل می دهد. اگر بخواهیم تصویر این برگ را به روش عادی ذخیره کنیم ، باید مشخصات میلیون ها نقطه این برگ را دانه به دانه ثبت کنیم ، اما راه دیگری هم وجود دارد. بیایید و مشخصات تنها یکی از دانه های اصلی را ضبط کنید. در این هنگام با اضافه کردن چند عملگر ریاضی ساده بقیه برگ را می توانید تولید کنید.

در واقع ، با در اختیار داشتن این بلوک ساختمانی و اعمال عملگرهایی چون دوران حول محورهای مختلف ، بزرگ کردن یا کوچک کردن و انتقال می توان حجم تصویر ذخیره شده را به طور قابل توجهی کاهش داد.

در این روش نرم افزار نمایشگر شما هنگامی که می خواهد تصویر را بازسازی کند، باید ابتدا بلوک کوچک را شبیه سازی کرده ، سپس عملگرهای ریاضی را روی آن اعمال کند، تا نتیجه نهایی حاصل شود.

به نظر می رسد این روش می تواند حجم نهایی را به شکل قابل ملاحظه ای کاهش دهد، اما تنها یک مشکل کوچک وجود دارد و آن هم این نکته است که همه اشیای اطراف ما برگ سرخس نیستند و بنابراین الگوهای تکرار در آنها همیشه اینقدر آشکار نیست.

بنابراین باید روشی بتواند الگوهای فراکتالی حاضر در یک تصویر را شناسایی کنند و در صورت امکان آن را اعمال کند.

به همین دلیل ، معمولا روش فراکتالی با روشهای فشرده سازی دیگر همزمان به کار برده می شود؛ یعنی اگر الگوهای تکرار چندان پررنگ نبودند، بازهم فشرده سازی امکانپذیر باشدالبته زیاد نگران ناکارامدی این روش نباشید. یادتان نرود، شما در جهانی زندگی می کنید که براساس یافته جدید ساختاری آشوبناک دارد.

مطمئن باشید هندسه فراکتال بر بسیاری از اشکال عالم حاکم است ؛ حتی اگر در نگاه اول چندان آشکا ر نباشد.

شما نیز با دقت بیشتر به اطرافتان و یافتن ارتباط های ملموس بین ریاضی و زندگی می توانید از سختی و به اصطلاح خشک بودن ریاضی بکاهید.

۱) تئوریسین فرکتالها

مندلبورت در کالج نیوتن کمبریج بنوت مندلبورت در سال ۱۹۲۴ در لهستان بدنیا آمد. پدر او دستفروش لباس های دست دوم بود و مادرش پزشکی می کرد. او مبانی ریاضیات را از دو عموی خود فرا گرفت و به همراه خانواده خود در سال ۱۹۳۶ به فرانسه مهاجرت کرد. در آنجا با کمک یکی دیگر از عموهایش که پروفسور ریاضیات بود اقامت فرانسه را گرفتند.

این مهاجرت باعث شد تا وی بیشتر به ریاضیات علاقمند شود اما جنگ جهانی دوم شروع شده بود و مندلبورت هراس این را داشت که نتواند به ریاضایات بپردازد. در باره او می گویند :

"جنگ، تنگدستی و نیاز به زندگی او را از مدرسه و تحصیل دور کرد و به همین دلیل بود که او را حد اکثر یک معلم دبیرستانی خودآموز خوب می دانستند."

عدم تحصیل دانشگاهی برای او یک مزیت بود چرا که او دیگر به پدیده های هستی به چشم یک ریاضیدان یا دانشمند آکادمیک نمی نگریست، این طرز آموزش همچنین به وی فرصت داد تا روشهای بسیار جالبی برای استفاده از هندسه در ریاضیات ابداع کند. نبوغ ذاتی او در هندسه باعث شد تا بتواند بسیاری از مسائل ریاضی را با روشهای هندسی حل کند.

او در سال ۱۹۴۴ فرصت آنرا یافت تا در امتحانات پلی تکنیک شرکت کند و توانست بسهولت قبول شود و این سرآغاز تحصیلات جدی وی بود. پس از پایان تحصیلات به آمریکا رفت و در انستیتوی مطالعات پیشرفته پرینستون مشغول به فعالیت شد.

پس از ده سال دوباره به پاریس بازگشت و شروع به کار برای مرکز ملی تحقیقات علمی فرانسه نمود. طولی نکشید که ازدواج کرد و دوباره به آمریکا برگشت. و در آنجا با یک شرکت آغاز به همکاری نمود. وی همواره از این موضوع صحبت می کند که دراین شرکت چقدر آزاد است و می تواند روی هر پروژه ای کار کند و فرصتی که این شرکت در اختیار او قرار داده است هیچ دانشگاهی نمی تواند به او بدهد.

تئوری فرکتالها علاوه بر زیبایی خاصی که از دید ریاضی دارد یکی از روشهای بسیار کاربردی در تفسیر و مدلسازی طبیعت می باشد. آشنایی با فرکتالها به هنرمندان اجازه می دهد تا آثار هنری بسیار زیبایی را خلق کنند.

همه ی ما بر تغییرات صورت گرفته در طرح سئوالات کنکور و کتابهای ریاضی واقفیم ولی آنچه باعث تاسف گشته آن است که بسیاری از همکاران در کلاسهای خود هنوز هم به همان سبک و سیاق منسوخ تدریس کرده و سئوال طرح می کنند که اصلا با ساختار و اهداف آموزشی کتابهای فوق مطابقت ندارند که نمونه بارز آن را در سئوالات خرداد 90 حسابان مشاهده نمودیم.
اهداف کلی و نگرش به ریاضییات و روشهای آموزشی در این کتاب ها ( علی الخصوص حسابان ) تغییر یافته و ایجاد تجربه عملی نسبت به مفاهیم در فرایند حل یک مساله و ارائه عینی مفاهیم از جالب ترین این تغییرات است.
مهندس یاسین سپهر

میوه خدایگان

ما فراکتال‌ها را در زندگی روزمره ی خود به فراوانی مشاهده می کنیم: درخت ها، کوه ها، پراکنده شدن برگ های پاییزی روی زمین. فراکتال شکل هندسی چند جزئی است که می‌توان آن را به قسمت هایی تقسیم کرد، به طوری که هر قسمت یک کپی از " کل " شکل باشد . به سختی می توان باور کرد که چیزی مانند فراکتال‌ها در عین پیچیدگی و کاربرد در عالی ترین سطوح ریاضی، بتواند به شکل یک سرگرمی جالب مورد استفاده قرار گیرد. در واقع هندسه ی فراکتالی، حرکت اشکال در فضا را ثبت می‌کند و ناهمواری دنیا و انرژی و تغییرات دینامیک آن را نشان می‌دهد! اما حقیقت این است که فراکتال موضوع ساده ای است به سادگی ابرها یا شعله های آتش. برای مثال شکل زیر

ایده خود متشابه در اصل توسط لایبنیتس بسط داده شد. در سال ۱۸۷۲ کارل وایرشتراس مثالی از تابعی را پیدا کرد با ویژگیهای غیر بصری که در همه جا پیوسته بود ولی در هر جا مشتق پذیر نبود. گراف این تابع اکنون فراکتال نامیده می‌شود .

بلور های برف ساده ترین و آشناترین نوع فراکتال ها هستند. واژه ی فراکتال از ریشه ای یونانی به معنای " تکه تکه شده " و"بخش بخش" آمده است و به نحوی تعریف ریاضی اش را در خود دارد. به زبان ساده ، اشکال فراکتالی دارای 3 خاصیت عمومی هستند : • تشابه به خود، تشکیل از راه تکرار ، بعد کسری

فراکتال ها یا خود همانند اند (self similarity) یا خود ناهمگرد (self affinity) هستند. در مورد خود همانندی شکل جز شباهت محسوسی به شکل کل دارد این جز، در همه جهات به نسبت ثابتی رشد می‌کند و کل را به وجود می‌آورد. اما در خود ناهمگردی شکل جز در همه جهات به نسبت ثابتی رشد نمی‌کند. مثلاً در مورد رودخانه‌ها وحوضه‌های آبریز بعد فراکتالی طولی متفاوت از بعد فراکتالی عرضی است. ساپوژنیکوف و فوفولا، (۱۹۹۳) لذا شکل حوضه آبریز کشیده‌تر از زیر حوضه‌های درون حوضه است. به خود همانندی همسانگرد ( isotropy) و به خود ناهمگردی ناهمسانگرد ( anisotropy) گفته می شود .

مجموعه مندلبرات یکی از معروف ترین مجموعه ها در مبحث فراکتال هاست، که در عکس دوم اورده شده است. ارگر به ترتیب با زوم 1 برابر، 6 برابر، 100 برابر و در نهایت 2000 برابر به این شکل نگاه کنیم این تصاویر حاصل می شوند

می بینیم که تمامی این شکل ها با شکل اصلی مشابه هستند

چون این بخش، بخش اوی مطلب هست فقط به ذکر نمونه هایی از فراکتال ها در طبیعت و مقدمات اولیه بسنده می کنم و در بخش های بعدی به توضیحات بیشتر می پردازم

4.مستند شبکه دیسکاوری با عنوان Fractals-Hunting The Hidden Dimension

بیشتر مطالب این وبلاگ موضوعات مورد علاقه نویسنده می باشد. استفاده و کپی برداری از این مطالب با ذکر منبع مجاز است.