اشکال فراکتالی

من فکرمی کنم که معماری بخش بزرگی برای ترویج فرهنگ بین مردم هستش. مردم اون چیزی رو که میبینند الگوی خودشون قرار میدهند. پس بامعماری خوب ودرست می شه فرهنگ مردم رو به حد اعلاء برسونیم

Architecture

Fractal African "Ba-Ila" village-plan
Here is an amazing raytraced Fractal Temple i found on the web (artist unknown)





هندسه فراکتال

واژه فراکتال مشتق از واژه لاتینی فراکتوس- به معنی سنگی که به شکل نامنظم شکسته خرد شده است- در سال ۱۹۷۵ برای اولین بار توسط بنوت مندل بروت مطرح شد. فراکتال ها شکل هایی هستند که بر خلاف شکل های هندسی اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند. این شکل ها اولاً سر تاسر نامنظم اند، ثانیاً میزان بی نظمی آنها در همه مقیاسها یکسان است.

با ملاحظه اشکال موجود در طبیعت، مشخص می شود که هندسه اقلیدسی قادر به تبیین و تشریح اشکال پیچیده و ظاهراً بی نظم طبیعی نیست.
مندل بروت در سال ۱۹۷۵ اعلام کرده که ابرها به صورت کره نیستند، کوهها همانند مخروط نمی باشند، سواحل دریا دایره شکل نیستند، پوست درخت صاف نیست و صاعقه بصورت خط مستقیم حرکت نمی کند.

وقتی که به یک جسم فراکتال نزدیک می شویم، می بینیم که تکه های کوچکی از آن که از دور همچون دانه ها بی شکلی به نظر می رسید، بصورت جسم مشخص در می آید که شکلش کم و بیش مثل همان شکلی است که از دور دیده می شود. در طبیعت نمونه های فراوانی از فراکتال ها دیده می شود. درختان ، ابرها، کوهها، رودها، لبه سواحل دریا، و گل کلم ها اجسام فراکتال هستند بخش کوچکی از یک درخت که شاخه آن باشد شباهت به کل درخت دارد. این مثال را می توان در مورد ابرها، گل کلم، صاعقه و سایر اجسام فراکتال عنوان نمود.
بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نیز بصورت فراکتال می باشند. تراشه های سلیکان، منحنی نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها و بالاخره مثلث سرپینسکی را می توان در این مورد مثال زد.

در علم ریاضی فراکتال یک شکل مهندسی است که پیچیده است ودارای جزئیات مشابه در ساختار خود در هر مقیاسی است.

میزان بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک میزان است. مثلث سرپینسکی یک مثلث متساوی الاضلاع است که نقاط وسط سرضلع آن به یکدیگر متصل شده اند. اگر این عمل در داخل مثلث های متساوی الاضلاع جدید تا بی نهایت ادامه یابد، همواره مثلث هایی حاصل می شوند که مشابه مثلث اول هستند.

هندسه ی اقلیدسی – احجام کامل کره ها و هرم ها و مکعب ها واستوانه ها- بهترین راه نشان دادن عناصر طبیعی نیستند . ابرها و کوه ها و خط ساحلی و تنه ی درختان همه با احجام اقلیدسی در تضاد هستند و نه صاف بلکه ناهموار هستند و این بی نظمی را در مقیاس های کوچک نیز به ارمغان می آورند که یکی از مهمترین خصوصیات فراکتال ها همین است .
این بدین معناست که هندسه ی فراکتال بر خلاف هندسه ی اقلیدسی روش بهتری را برای توضیح و ایجاد پدیده هایی همانند طبیعت است .زبانی که این هندسه به وسیله ی آن بیان می شود الگوریتم نام دارد که با اشیا مرکب می توانند به فرمولها و قوانین ساده تری ترجمه و خلاصه شوند.
فرکتال از کلمه ی لاتین فراکتوس به معنی سنگی نامنظم شکسته و خرد شده است، گرفته شده است . اولین بار فرکتال را دکتر ماندلبروت طی نظریه ای که برای مسائل جهان هستی ارائه کرد و در این نظریه عنوان کرد که جهان هستی بعدی مابین ۲۳/۱-۳۴/۱۱ دارد و تمامی پدیده های طبیعی به نوعی فرکتالهایی می باشند در جهان هستی که برای ما ناشناخته اند.
فراکتال ها انواع عناصری هستند که فرم فضایی آنها صاف نیست .بنابراین “نامرتب ” نامیده شده اند و این نامنظمی آنها به طور هندسی در راستای مقیاسهای گوناگون در داخل هرم تکرار می شوند .هر چیز طبیعی در اطراف ما در اصل نوعی فراکتال است . به این سبب که خطوط صاف و پلانها فقط در دنیای ایده آل ریاضی وجود دارد .در کنار این تئوری هر سیستم که بتواند اشکال فراکتالی به صورت هندسی متصور و تحلیل شود می تواند یک فرکتال باشد .جهان در فرم فیزیکی ( مادی ) کلی خود پر هرج و مرج ،ناممتد و نامنظم است اما در پس این اولین ذهنیت و گمان یک نوع دستوری نهفته است که منظم و دارای ترکیبی واضح است . بهترین راه برای تعریف یک فرکتال توجه به صفتها و نشانه های آن است یک فرکتال ” نامنظم ” است . این بدان معنی است که در آن هیچ قسمتی صاف نیست . فرکتال ” خود مشابه ” است و این بدین معنی است که ” اجزا ” شبیه کل هستند .
فراکتال ها به وسیله ی ” تکرار ” توسعه می یابند که به این معنی است که تغییرشکل مکرراً ایجاد شده و وابسته به موقعیت شروع است . خصوصیت دیگر آن این است که فراکتال ” مرکب ” است . اما با این حال می توان آن را به وسیله ی الگوریتم های ساده نشان داد و همچنین بدون معنی نیز نیست که در پس عناصر نامرتب طبیعی یک رشته قوانین موجود است .
Benoît B. Mandelbrot (born 20 November 1924) is a French mathematician, best known as the father of fractal geometry. He is Sterling Professor of Mathematical Sciences, Emeritus at Yale University; IBM Fellow Emeritus at the Thomas J. Watson Research Center; and Battelle Fellow at the Pacific Northwest National Laboratory. He was born in Poland. His family moved to France when he was a child, and he was educated in France. He is a dual French and American citizen. Mandelbrot now lives and works in the United States.

فرکتال (برخال) چیست؟
ما فرکتال‌ها را هر روز می‌بینیم: درختها ، کوهها، پراکنده شدن برگهای پاییزی روی زمین ، ساحل دریا و …

حالا به این تعریف دقت کنید: فراکتال تصویر هندسی چند جزیی است که می‌توان آن را به تکه هایی تقسیم کرد که انگار هر تکه یک کپی از ” کل ” تصویر است . به سختی بتوان باور کرد که چیزی مانند فراکتال‌ها بتواند اینقدر پیچیده و سخت باشد و در عالی ترین سطوح ریاضی به کار رود و در عین حال بتوان به تصویر یک سرگرمی خوب به آن نگاه کرد. اگر بخواهیم بترسانیمتان می‌توانیم بگوییم که هندسه فراکتالی حرکت اشکال در فضا را ثبت می‌کند و یا ناهمواری دنیا و انرژی و تغییرات دینامیک آن را نشان می‌دهد ! اما راستش را بخواهید فراکتال چیز ساده ای است به سادگی ابرها یا شعله های آتش.

واژه فرکتال از ریشه ای یونانی به معنای ” تکه تکه شده ” و”بخش بخش” آمده است و به نحوی تعریف ریاضی اش را در خود دارد

اگر بخواهیم از دید کلی به بحث فرکتال نگاه کنیم آن را می توان به ۳ دسته تقسیم بندی کرد :
۱- هندسه فرکتال : در این قسمت از دید ریاضی به فرکتال نگاه می شود که بیشتر مورد توجه ریاضی دان ها قرار گرفته اما پایه های قسمت های بعدی نیز می باشد ، و تا با عناصر اصلی فرکتال و چگونگی ایجاد این فرم آشنا نشویم نمی توان فرم های مختلف و حجم های مختلف را شناسایی کرد.
۲- اشکال فراکتالی فرم فرکتال : قسمت دوم این مقاله است ، با توجه به اینکه ،محصول هندسه فرکتال فرمی است که دقیقاً آن مشخصه های هندسی مربوطه را دارد . در این بخش فرم هایی همچون فرم های درخت ، فرم های مندلبرت ، فرمهای موجود در طبیعت ، ایجاد فرم های رندوم (Random fractal) ، خود متشابهی (self similarity) ، فرکتال در نقاشی ( آثار نقاشانی چون جکسون پالاک ) و … مورد بررسی قرار خواهد گرفت .
۳- حجم فرکتال (فرکتال در معماری): نتیجه فرم های مختلف می تواند به یک اثر معماری منتج شود لذا در این بخش حجم های فرکتالی و آثار معماری مطرح می شود .
اشکال فرکتالی چنان با زندگی روزمره ما گره خورده که بسیار جالب است. با کمی دقت به اطراف خود، می توان بسیاری از این اشکال را یافت. از گل فرش زیر پای شما و گل کلم درون مغازه های میوه فروشی گرفته تا شکل کوه ها، ابرها، دانه برف و باران، شکل ریشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شکل سرخس ها، سیاهرگ و حتی می توان از این هم فراتر رفت : سطح کره ماه ، منظومه شمسی و ستارگان .
البته در بخش فرم های فرکتال این موضوع بیشتر مشهود است به طوری که بسیاری از فرمهای خلقت دارای ساختاری فرکتال هستند .
این روزها از فراکتالها به عنوان یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه ای نیز نام می برند، اما هنگام پیدایش این مفهوم جدید بیشترین نقش را در فشرده سازی فایلهای تصویری بازی می کنند.
فرکتال از منظر هندسی
هندسه فرکتالی یا هندسه فرکتال ها پدیده ایست که چندی پیش پا به دنیای ریاضیات گذاشت.
واژه فرکتال در سال ۱۹۷۶ توسط ریاضیدان لهستانی به نام بنوئیت مندلبرات وارد دنیای ریاضیات شد.
او در سال ۱۹۸۷ پرفسوری خود را در رشته ریاضیات گرفت.
مندلبرات وقتی که بر روی تحقیقی پیرامون طول سواحل انگلیس مطالعه می نمود به این نتیجه رسید که هر گاه با مقیاس بزرگ این طول اندازه گرفته شود بیشتر از زمانی است که مقیاس کوچکتر باشد.
از لحاظ واژه مندلبرات انتخاب اصطلاح فرکتال (fractal) را از واژه لاتین fractus یا fractum (به معنی شکسته ) گرفت تا بر ماهیت قطعه قطعه شونده که یکی از مشخصه های اصلی این فرم است ،تاکید داشته باشد .
فرهنگستان زبان هم واژه برخال را تصویب کرده و همچنین برای واژه فرکتالی واژه برخالی را تصویب کرده است.
واژه فرکتال به معنای سنگی است که به شکل نامنظم شکسته شده باشد.
اما در هندسه :
فرکتال از دید هندسی به شیئی گویند که دارای سه ویژگی زیر باشد:
۱-اول اینکه دارای خاصیت خود متشابهی باشد یا به تعبیر دیگر self-similar باشد.
۲-در مقیاس خرد بسیار پیچیده باشد.
۳-بعد آن یک عدد صحیح نباشد (مثلاً‌ ۱٫۵).
برای درک بهتر نسبت به مشخصات بالا در فرم هندسی ، بد نیست نمونه ای که شاید تا کنون با آن برخورد کرده باشید مطرح شود :

تصویر بالا ( یک کبوتر ) یک فرم هندسی است که دقیقاً با تعاریفی که در تعریف فرکتال بیان شد، منطبق است یعنی هم دارای خاصیت خود متشابهی و پیچیدگی در مقیاس خرد و نیز عدم داشتن بعد صحیح . تصویر بالا دارای بعدی بین عدد ۲ و ۳ است.
حال به بررسی هر یک در زیر پرداخته شده :
خاصیت خود متشابهی فرکتا لها
شیئی را دارای خاصیت خود متشابهی می گوییم: هر گاه قسمت هایی از آن با یک مقیاس معلوم ، یک نمونه از کل شیئی باشد.
ساده ترین مثال برای یک شیئ خود متشابه در طبیعت گل کلم است که هر قطعه‌ی کوچک گل کلم متشابه قطعه بزرگی از آن است .
همین طور درخت کاج یک شیئ خود متشابه است ،چرا که هر یک از شاخه های آن خیلی شبیه یک درخت کاج است ولی در مقیاس بسیار کوچکتر .همچنین در مورد برگ سرخس نیز چنین خاصیتی وجود دارد.
رشته کوه ها ، پشته های ابر ، مسیر رودخانه ها و خطوط ساحلی نیز همگی مثال‌ها‌یی از یک ساختمان خود متشابه هستند.
نمونه ای از خود متشابهی در شکل زیر نیز دیده می شود.

فراکتال شکل هندسی پیچیده است که دارای جزییات مشابه در ساختار خود در مقیاسهای متفاوت می باشد و بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک اندازه است .
واژه فراکتال مشتق گرفته شده از واژه لاتینی فراکتوس به معنای سنگ است که به شکل نا منظم شکسته و خرد شده .این واژه برای اولین بار توسط بنوت مندل بروت مطرح شد .
جسم فراکتال از دوز و نزدیک یکسان دیده می شود .مثلا وقتی به یک کوه نگاه می کنیم شکلی شبیه به یک مخروط می بینیم که روی آن مخروطهای کوچکتر و بی نظمی دیده می شود ولی وقتی نزدیک می شویم همین مخروطهای کوچک شبیه کوه هستند و یا شاخه های یک درخت شبیه خود درخت هستند .البته در طبیعت نمونه های اجسام فراکتال فراوان است مثلا ابرها -رودها -سرخس ها و حتی گل کلم از اجسام فراکتال است .و اگر به ساخته های دست بشر هم نگاه کنیم تراشه های سیلیکان و یا مثلث سرپینسکی نیز فراکتال هستند . و در معماری همیشه نباید نیاز بشر را هندسه اقلیدسی تامین کند .گسترش شهرها نمونه آشکاری از فراکتال است.

- اشکال اقلیدسی با استفاده از توابع ایستا تولید می شوند ولی اشکال فرکتال با فرآیندهای پویا تولید می شوند.( فرآیندهای پویا, فرآیندهایی هستند که دارای حافظه می باشند و رفتار آنها به گذشته بستگی دارد.)
- اشکال فرکتال دارای خاصیت خود همانندی است. طول این اشیا بی نهایت است که در فضای محدود, محصور شده اند.

- مجموعه های فرکتال, از زیر مجموعه هایی تشکیل شده اند که این زیر مجموعه ها شبیه مجموعه های بزرگتر هستند.
- هندسه فرکتال دارای ساختارهای ظرفیتی بالاست ولی ظرفیت اطلاعاتی اشیای اقلیدسی بسیار محدود و حاوی اطلاعات تکراری است.
- هندسه فرکتال, بیان ریاضی از معماری طبیعت است.
- هر فرآیند تکراری و پویا باعث ایجاد ساختارهای پیچیده فرکتال نمی شود. مکانیزم تولید چنین ساختارهای پویایی, آشوب است. در حقیقت, فرکتال تصویر ریاضی از آشوب است.

رابطه فراکتال و معماری
مطالعه هندسه باید به طراح کمک کند به درک بهتری از جریان جزئیات در پیرامون ما و جهان طبیعی دست یابد.

خصوصیت فراکتالی یک ترکیب معماری در تسلسل جالب جزئیات است. این تسلسل برای حفظ جذابیت معماری لازم است. هنگامی که شخص به یک ساختمان نزدیک و سپس به آن وارد می شود همیشه باید مقیاس کوچکتر دیگری همراه با جزئیات جذاب وجود داشته باشد تا معنای کلی ترکیب را بیان کند که این یک ایده فراکتال است.
انسانها در روزگار قدیم که در طبیعت می زیستند و مانند انسان دوره مدرن, با طبیعت اشکال فراکتالی بیگانه نبودند, معماریشان با نظم طبیعت بود. آنها به این دلیل که در طبیعت رشد میافتند, ضمیر ناخودآگاهشان نیز با نظم طبیعت- یعنی با نظم فراکتال- رشد میافت, در نتیجه مصنوعاتش نیز دارای نطم فراکتال می بود.

به دنبال بیگانگی انسان معاصر با طبیعت و دور شدن ساخته هایش از تشابه با ساختارهای طبیعت, معماران معاصر به دنبال نمود دادن ساختار فراکتال طبیعت در آثارشان هستند. هر چند که این هنوز آغاز راه است ولی ارتباطی جدیدی در زمینه طبیعت و معماری معاصر را نشان میدهد. ارتباطی که اشکال فراکتالی انسان مدرن آن را فراموش کرده بود.

This image has been resized. Click this bar to view the full image. The original image is sized 1024x768.

This image has been resized. Click this bar to view the full image. The original image is اشکال فراکتالی اشکال فراکتالی sized 1024x768.

Military design incorporates the fractal antenna into the helmet itself! Fractal Furniture is NOW HERE! Fractal Table

من فکرمی کنم که معماری بخش بزرگی برای ترویج فرهنگ بین مردم هستش. مردم اون چیزی رو که میبینند الگوی خودشون قرار میدهند. پس بامعماری خوب ودرست می شه فرهنگ مردم رو به حد اعلاء برسونیم

شباهت عجیب حرکات قیمت بیت کوین با طلا

افرادی که در بازارهای مالی فعالیت می‌کنند احتمالا با واژه‌ی فراکتال (Fractal) آشنایی دارند و این کلمه به گوش آنها خورده است.

فراکتال‌ها (Fractal) در معنای کلمه یعنی اشکالی که هر جزء در آن شبیه به کل شکل است و به عبارتی اشکال پیچیده از طریق تکرار اشکال ساده بدست می‌آیند. در بازارهای مالی نیز چنین است یعنی فراکتال‌ها الگو ھای مشابھی ھستند که خودشان را تکرار می کنند.

به مقایسه‌ی دو نمودار طلا و بیت کوین که توسط یکی از تحلیلگران ارزهای دیجیتال در تردینگ ویو منتشر شده است توجه کنید:

بررسی شباهت دو نمودار طلا و بیت کوین

نمودار بالا مربوط به قیمت بیت کوین به دلار از تقریبا اویل سال ۲۰۱۸ تا به قیمت فعلی و نمودار پایین مربوط به قیمت طلا از سال ۱۹۸۰ تا هم اکنون است. با مقایسه‌ی فراکتالی یا جزء به جزء بین نمودار این دو متوجه شباهت عجیب و بسیار اشکال فراکتالی نزدیک حرکات قیمت می‌شویم.

البته که نمودار طلا برخلاف بیت کوین در تایم فریم ماهانه آورده شده است چرا که ارزش بازار (Market cap) طلا بیشتر از بیت کوین است و همین امر باعث کاهش سرعت حرکات آن شده است. گرچه که خود زمان نیز خاصیت فراکتالی دارد و تایم فریم های بزرگ تر از کنار هم قرارگرفتن واحدهای تایم فریم های پایین‌تر شکل می‌گیرند.

به شباهت بین قسمت های مختلف دو نمودار و فراکتال های اخیر قیمت بیت کوین (دایره های رنگی) و طلا توجه کنید، حتما اشکال فراکتالی این شباهت ها به چشمتان خواهد خورد. از این بررسی فرکتالی بازار و شباهت بسیار زیاد با نمودار طلا در سال های اخیر می‌توان پامپ شدن دوباره‌ی بیت کوین در بلند مدت را انتظار داشت. نمودار نارنجی رنگی که در انتهای نمودار بیت کوین و چسبیده به قیمت فعلی مشاهده می‌کنید، مشابه حرکت عینی طلا پس از فراکتال آخر خود بوده است که احتمال صعود بیت کوین در بلند مدت را پیش‌بینی می‌کند.

برای پیدا کردن دید بیشتر نسبت به حرکات آینده در بلند مدت به تحلیل های گذشته‌ی بیت کوین مانند تحلیل ۲۷ ژوئن (۶ تیر) یا تحلیل ۱۸ ژوئن (۲۸ خرداد) می‌توانید رجوع کنید.

پاورپوینت فراکتال در معماری

دید کلی :
پاورپوینت فراکتال در معماری دارای 67 اسلاید با ظاهری زیبا , متفاوت , مفید, مختصر و قابل ویرایش می باشد.

پاورپوینت فراکتال در معماری

بخشی از متن پاورپوینت :
تاریخچه واژه فراکتال
واژه فراکتال مشتق از واژه لاتینی فراکتوس یا فراکتورا- به معنی سنگی است که به شکل نامنظم تکه تکه و خرد شده است - در سال 1975 برای اولین‌بار توسط ریاضی‌دان لهستانی بنام بنویت مندل برات مطرح شد. وی وقتی پیرامون طول سواحل انگلیس تحقیق می‌کرد به این موضوع پی‌برد.
فراکتال ها شکل‌هایی هستند که بر خلاف شکل‌های هندسی اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند
این شکل‌ها سرتاسر نامنظم‌اند
میزان بی‌نظمی آنها در همه مقیاس‌ها یکسان است
اشکال اقلیدسی کاربردهای خاص خود را دارند اما همانطور که همه ما دیده‌ایم این اشکال یک سری منحنی‌های صاف و یکنواخت‌اند اما طبیعت پر از پیچ و تاب است و اشکال فراکتالی هم همچون طبیعت به شیوه تکرار خود را در درون خود به صورت مقیاس کوچک و کوچک‌تر خلق می‌کنند و به شدت به اشکال طبیعی نزدیک‌اند.
هندسه فراکتال به مطالعه اشکال ریاضی‌ای می پردازد که نمایانگر جریانی از اجزای خودمتشابه بی‌انتها و پیچ در پیچ است. در این مطالعات بعد فراکتال یک معیار ریاضی برای تعیین درجه‌ی پیچیدگی بافت در حال نمایش است.

پاورپوینت فراکتال در معماری
فهرست مطالب:
پیدایش فراکتال
تاریخچه واژه فراکتال
هندسه فراکتال
ویژگی‌های فراکتال
نظریه‌ی آشوب
تاریخچه نظریه آشوب
ویژگی‌های نظریه آشوب
فراکتال‌ و معماری
بررسی آثار فراکتال در دوره‌های مختلف
فراکتال و نقاشی
فراکتال و مجسمه‌سازی

فراکتال چیست؟

چند سؤال:
اگر این شکل قرمز را شکل پایه در نظر بگیریم ، در شکل آبی چند نمونه از آن وجود دارد؟
آیا مربع‌ها خود متشابه اند ؟ یعنی می‌توان با مربعهای کوچکتر ، مربع بزرگی ساخت. شش ضلعی‌ها چطور؟
آیا همه دایره‌ها متشابه اند ؟ آیا خود متشابه هم هستند؟

تشکیل از راه تکرار Iterative formation
مقصود از تشکیل از راه تکرار چیست؟ یعنی برای درست کردن یک فراکتال می‌توانیم یک شکل معمولی هندسی ( مثلاً یک خط) را برداریم و با آن یک شکل پیچیده تر بسازیم. بعد با آن شکل به دست آمده شکل پیچیده تری بسازیم ، و همین طور به این کار ادامه دهیم اشکال فراکتالی به این طریق به وجود می‌آیند و برنامه های کامپیوتری متعددی بر ایجاد آنها نوشته شده است. هر کدام از آنها هم اسم و رسمی برای خود دارند مثلاً مثلث سیرپنیکی که قبلاً دیدید یا :
• دانه برف کخ
• فرش سرپینسکی
• اژدهای هرتر - های وی
• مجموعه های جولیا و مندلبروت
ابعاد کسری fractional dimension
همانطور که می‌دانید ، یک نقطه بعد ندارد.
یک خط ، شکلی یک بعدی است
یک صفحه ، دو بعد دارد.
ودر آخر شکلهای حجیم ، سه بعد دارند.
اما فراکتال‌ها می‌توانند بعد کسری داشته باشند ! مثلاً 6/1 یا 2/4 . چطور چنین چیزی امکان دارد؟
اگر یک پاره خط را نصف کنیم چه پیش می‌آید ؟
حالا دو خط داریم که درست مثل هم هستند.
اگر اشکال فراکتالی هر دو بعد یک مربع را نصف کنیم چطور ؟ حالا چهار مربع هم اندازه داریم.
با نصف کردن هر سه بعد یک مکعب به هشت مکعب کوچکتر می‌رسیم.
به جدول زیر دقت کنید:

شکل	بعد	تعداد اشکال متشابه حاصله
پاره خط	1	2 1 =2
مربع	2	2 2 =4
مکعب	3	2 3 =8

چه الگویی وجود دارد ؟ به نظر می‌رسد که بعد ، همان " توان " است. یعنی برای پیدا کردن تعداد اشکال حاصله باید 2 را به توان بعد آن شکل برسانیم.
سپس می‌توانیم یک خط دیگر به این جدول اضافه کنیم:

هر شکل خود متشابه

d

n= 2 d

دوباره به مثلث آشنای خودمان نگاه کنید.

If your browser recognized the applet tag, you would see the Sierpinski Triangle applet here.

اگر هر ضلع را نصف کنیم چند مثلث درست می‌شود؟ به خاطر داشته باشید که مثلثهای سفید جزو مثلث سیرپنیکی نیستند. با نصف کردن هر ضلع به سه مثلث می‌رسیم یعنی
:

3 عددی است بین 2 1 و2 2 . کسانی که لگاریتم بدانند ، به راحتی این مسأله را حل می‌کنند. خب می‌بینید که این عدد 5849. 1 یک عدد کاملاً کسری است !
برای مطالعه بیشتر می‌توانید به آدرسهای زیر مراجعه کنید:

فهم رازآلود و احتمالاً ذاتیِ ما از اشکال موجود در طبیعت

وقت‌گذرانی در هوای آزاد نیز مانند گوش دادن به موسیقی آرامش‌بخش است، این امر ممکن است به نحوه مشاهده و درک ما از الگوهای طبیعی مربوط باشد.

مطالعات نشان داده است که هنگامی که شکل چیزی در مقیاس‌های کوچکتر تکرار شود، مانند شاخه‌های یک درخت، مارپیچ یک صدف یا انشعاب‌های یک رودخانه، می‌تواند در مغز بزرگسالان حالت آرامش ایجاد کند، استرس کلی را کاهش دهد و یک احساس آرامش‌بخش تولید کند.

این به عنوان "تسلط فراکتال"، یعنی توانایی شناسایی و پردازش الگوهای کاهشی نسبتاً ساده شناخته می‌شود.

تحقیقات جدید در مورد کودکان خردسال نشان می‌دهد که واکنش ما به مناظر طبیعی فراکتال آنطور که برخی تصور می‌کنند، لزوماً از طریق در معرض آنها قرار گرفتن آموخته نمی‌شود. یافته‌ها حاکی از آن است که این توانایی در سه سالگی نیز در ما وجود دارد و حتی اشکال فراکتالی می‌تواند در تجربه ذاتی انسان باشد.

کلی روبلز، روانشنا‌ از دانشگاه اورگان توضیح می دهد: "برخلاف انسان‌های اولیه که بیرون از خانه در ساوانا - دشت پوشیده از علف و درختان دور از هم به ویژه در آفریقا - زندگی می‌کردند، انسان‌های امروزی بیشتر اوایل زندگی خود را در داخل این ساختارهای ساخت دست بشر، می‌گذرانند. بنابراین، از آنجا که کودکان خیلی در معرض این الگوهای فراکتال طبیعی با پیچیدگی کم تا متوسط قرار ندارند، این مزیت باید از چیزی در اوایل رشد آمده یاشد و یا شاید ذاتی باشد."

اصطلاح "فراکتال" در سال 1975 ابداع شد، اما مدت‌ها قبل از آن، هنرمندانی مانند جکسون پولاک، اِشر و کاتشوشیکا هوکوسای از این الگوهای طبیعی برای تأثیرات مختلف در هنر خود استفاده کردند.

تجزیه و تحلیل فراکتال در واقع می‌تواند به تمایز بین آثار جعلی جکسون پولاک و آثار واقعی وی کمک کند. حتی نحوه ردیابی چشم انسان از یک نقاشی یا نحوه پردازش مغز ما از اطلاعات به دست آمده را می‌توان به عنوان داشتن یک الگوی فراکتال توصیف کرد.

مطالعات سال‌های گذشته نشان داده است که بزرگسالان انواع خاصی از الگوهای فراکتال با سطح خاصی از پیچیدگی را که بیشتر در طبیعت یافت می‌شود، ترجیح می‌دهند.

به عنوان مثال فراکتال‌های آماری، الگوهای مشابهی را در مقیاس‌های مختلف نشان می‌دهند و متقارن نیستند (مثل خطوط ساحلی، ابرها و کوه‌ها). هنگام مشاهده‌ی این موارد، انسان پیچیدگی سطح متوسط ​​را که یادآور صحنه‌های ساواناست، ترجیح می‌دهد.

اما هنگام بررسی فراکتال‌های دقیق، که الگوی یکسانی را در هر مقیاس نشان می‌دهند (مثل دانه‌های برف)، پیچیدگی بیشتر ترجیح داده می‌شود.

این نشان می‌دهد که ممکن است یک ترجیح همگانی اشکال فراکتالی برای الگوهای طبیعی در میان بزرگسالان وجود داشته باشد و به نظر می‌رسد تأثیر تسکین دهنده‌ای بر ما دارد. اما ما چه زمانی در زندگی خود به چنین سازگاری‌ای با این اشکال رسیدیم؟

ممکن است پاسخ این باشد که ما به مرور زمان، از طریق قرار گرفتن مکرر در معرض اشیا طبیعی، این کار را یاد گرفتیم. این اتفاق به عنوان اثر Goldilocks شناخته می‌شود و نشان می‌دهد که هرچه زمان می‌گذرد، ما به تدریج دانش خود را از اشکال پیچیده‌تر افزایش می‌دهیم تا اینکه در نهایت، الگوهایی را ترجیح می‌دهیم که پیچیدگی سطح متوسط ​​را که نه برای مغز ما خیلی زیاد است و نه خیلی کم، نشان دهند.

اما تفسیر دیگری نیز وجود دارد. اگر این تمایلات در کودکان نیز وجود دیده شود، به این معناست که یک مکانیسم بیولوژیکی جدید یا تکاملی وجود دارد که سیستم بینایی ما را طوری شکل می‌دهد که ساختارهای طبیعی را ترجیح دهد.

اولین مطالعه برای بررسی این ایده اکنون شواهدی را در حمایت از نظریه جهانی تسلط فراکتال کشف کرده است.

داده‌های این مطالعه توسط 82 بزرگسال 18 تا 33 ساله و 96 کودک بین 3 تا 10 سال ارائه شده است. همه‌ی شرکت‌کنندگان الگوهای فراکتال را روی صفحه نمایش تبلت بررسی کردند.

در هر دور، شرکت‌کنندگان با یک جفت تصادفی از الگوهای دقیق روبرو می‌شدند که طیفی از پیچیدگی (که شبیه شاخه‌ درخت یا شبیه برف به نظر می‌رسید) یا یک جفت تصادفی از الگوهای آماری با پیچیدگی‌های مختلف را نشان می‌دهد (که شبیه ابر به نظر می‌رسید).

هنگامی که داوطلبان در هر 10 دور انتخاب کردند که کدام تصویر را ترجیح می‌دهند، سپس یک آزمون گرایش بصری و یک پرسش‌نامه را تکمیل کردند.

در حالی که بزرگسالان و کودکان ترجیح خود را برای الگوهای خاص نشان دادند، اما تفاوت کلی بین گروه‌ها وجود ندارد. بعلاوه، هیچ رابطه‌ای بین نحوه‌ی پردازش این تصاویر توسط شرکت‌کنندگان، سن یا انتخاب آنها وجود نداشت.

بزرگسالان و کودکان وقتی با الگوهای تکراری آماری روبرو می‌شوند، پیچیدگی کم تا متوسط ​​را ترجیح می‌دهند. اما وقتی با الگوهای تکراری دقیق روبرو می‌شوند، معمولاً الگوهای پیچیده‌تر را ترجیح می‌دهند.

روبلز می‌گوید: "ما دریافتیم که مردم متداول‌ترین الگوی طبیعی، الگوهای آماری فراکتال اشکال فراکتالی با پیچیدگی کم تا متوسط ​​را ترجیح می‌دهند و این ترجیح از دهه‌ها قرار گرفتن در معرض طبیعت یا تفاوت‌های فردی در نحوه پردازش تصاویر ناشی نمی‌شود. تمایل ما برای انتخاب فراکتال‌ها قبل از تولد سه سالگی‌مان تنظیم شده است که نشان می‌دهد سیستم بینایی ما برای پردازش بهتر این الگوها که در طبیعت بسیار شایع هستند، سازگار شده است."

اگر زیبایی‌شناسی فراکتال صرفاً بازتابی از قرار گرفتن در معرض رایج‌ترین الگوهای موجود در طبیعت بود، پس تفاوت سن باید نمایان شود. تحت این سناریو، با افزایش سن کودکان، آنها باید شکل‌های پیچیده تر را ترجیح دهند.

اما ظاهراً این مورد حداقل در تحقیقات اولیه وجود ندارد. این مطالعه از نظر اندازه کوچک است و لازم است از طریق مطالعه بیشتر تأیید شود، اما این واقعیت که به نظر می‌رسد بزرگسالان و کودکان الگوهای طبیعی یکسانی را ترجیح می‌دهند نشانگر تسلط فراکتال در اوایل زندگی است و انعکاسی از محیط کودکی فرد نیست.

همچنین ممکن است به این معنی باشد که با دیدن شکل‌های فراکتال کودکان و بزرگسالان از مزایای یکسانی برخوردار می‌شوند.

روبلز می‌گوید: "طبیعت این مزایا را به صورت رایگان فراهم می‌کند، اما ما هر روز بیشتر خود را در محاصره مناظر شهری عاری از فراکتال می‌یابیم. این مطالعه نشان می‌دهد که با استفاده از فراکتال در محیط‌های شهری می‌توان از همان سنین پایین از مزایای آن را بهره‌مند شد."